Exemples de tenseurs d’inertie pour des solides homogènes
Exemple : Sphère mince de rayon R et de masse m
\(\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}m{R^2}}&0&0\\0&{\frac{2}{3}m{R^2}}&0\\ 0&0&{\frac{2}{3}m{R^2}} \end{array}} \right]_R}\)
Du fait des symétries, \(D=E = F = {\rm{0}}\) et \(A = B = C = \frac{2}{3}{I_{\rm{O}}} = \frac{2}{3}\int_S {{x^2} + {y^2} + {z^2}dm} = \frac{2}{3}\int_S {{R^2}dm} = \frac{2}{3}m{R^2}\)
Exemple :
Boule de rayon \(R\) et de masse \(m\)
\(\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{5}m{R^2}}&0&0\\0&{\frac{2}{5}m{R^2}}&0\\0&0&{\frac{2}{5}m{R^2}}\end{array}} \right]_R}\)
Du fait des symétries, \(D{\rm{ = }}E = F = {\rm{0}}\) et \(A = B = C = \frac{2}{3}{I_{\rm{O}}} = \frac{2}{3}\int_S {{r^2}dm} = \frac{2}{3}\int_S {{r^2}\rho 4\pi {r^2}dr} = \frac{2}{3}\frac{4}{5}\pi \rho {R^5}\quad = \frac{2}{5}m{R^2}\quad\) avec \(\rm{m} = \frac{4}{3}\pi {R^3}\rho\)
Exemple :
Cylindre de révolution, creux, mince, de rayon \(R\), de hauteur \(h\) et de masse \(m\)
\(\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\rm{m}}\left( {{{\rm{h}}^{\rm{2}}} + 6{{\rm{R}}^{\rm{2}}}} \right)}}{{12}}}&0&0\\ 0&{\frac{{{\rm{m}}\left( {{{\rm{h}}^{\rm{2}}} + 6{{\rm{R}}^{\rm{2}}}} \right)}}{{12}}}&0\\ 0&0&{m{R^2}}\end{array}} \right]_R}\)
Du fait des symétries, \(D{\rm{ = }}E = F = {\rm{0}}\) et \(\begin{array}{l}A = B = \frac{{{\rm{m}}\left( {{{\rm{h}}^{\rm{2}}} + 6{{\rm{R}}^{\rm{2}}}} \right)}}{{12}}\\C = \int_S {{R^2}dm} = m{R^2}\end{array}\)
Exemple :
Cylindre de révolution, plein de rayon \(R\), de hauteur \(h\) et de masse \(m\)
\(\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\rm{m}}\left( {{{\rm{h}}^{\rm{2}}} + 3{{\rm{R}}^{\rm{2}}}} \right)}}{{12}}}&0&0\\ 0&{\frac{{{\rm{m}}\left( {{{\rm{h}}^{\rm{2}}} + 3{{\rm{R}}^{\rm{2}}}} \right)}}{{12}}}&0\\ 0&0&{\frac{{m{R^2}}}{2}} \end{array}} \right]_R}\)
Exemple :
Barre de longueur \(l\) et de masse \(m\)
\(\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m{l^2}/12}&0&0\\ 0&{m{l^2}/12}&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right]_R}\)
