Dynamique des systèmes mécaniques

La dynamique exprime les relations qui existent entre les mouvements, décrits par la cinématique, et leurs causes plus ou moins apparentes : les actions mécaniques. Ces relations ont été établies à partir de postulats vérifiés par des expériences. Cette théorie est appelée mécanique rationnelle pour en marquer le caractère déductif.

On observe que pour mettre en mouvement un solide (c'est-à-dire l’accélérer) ou l’arrêter (le ralentir), la somme des actions mécaniques extérieures s’exerçant sur le solide doit être égale à la variation de quantité de mouvement par rapport au temps. La quantité de mouvement est le produit d’une masse et de la vitesse de cette masse par rapport au référentiel galiléen.

Dans l’étude des machines terrestres, on considère généralement les effets dynamiques liés à la rotation de la Terre négligeables par rapport aux autres actions. Tout repère lié à la Terre est alors supposé galiléen.

Lorsque les effets dus à la rotation de la Terre ne peuvent plus être négligés (systèmes de guidage par inertie, la météorologie...), on utilise comme repère galiléen un repère au centre de la Terre avec les axes pointés vers des étoiles.

Lorsque le déplacement de la Terre autour du Soleil doit être pris en compte (ex. lancement de satellite), on choisit comme repère galiléen un repère au centre du Soleil avec les axes pointés vers des étoiles.

 Soit un point matériel \({\rm{P}}\) de masse \({m_{\rm{P}}}\) se déplaçant à un vitesse \(\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)}\) par rapport à un référentiel galiléen \({R_g}\) et soumis à un ensemble de force dont la résultante est \(\overrightarrow {{{\mathop{\rm R}\nolimits} _{ext \to {\rm{P}}}}}\) .

Le principe fondamental de la dynamique nous dit que la résultante des actions s’exerçant sur le point matériel est égale à la variation par rapport au temps de la quantité de mouvement \(\overrightarrow p  = \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \,{m_{\rm{P}}}\) du point matériel :

            \(\overrightarrow {{{\mathop{\rm R}\nolimits} _{ext \to {\rm{P}}}}}  = \frac{d}{{dt}}\overrightarrow p \quad  \Leftrightarrow \quad \overrightarrow {{{\mathop{\rm R}\nolimits} _{ext \to {\rm{P}}}}}  = \frac{d}{{dt}}(\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \,{m_{\rm{P}}})\quad  \Leftrightarrow \quad \overrightarrow {{{\mathop{\rm R}\nolimits} _{ext \to {\rm{P}}}}}  = \frac{d}{{dt}}\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \,{m_{\rm{P}}} + \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \frac{{d{m_{\rm{P}}}}}{{dt}}\,\)

Dans le cas où la masse est constante par rapport au temps, on a :

            \(\overrightarrow {{{\mathop{\rm R}\nolimits} _{ext \to {\rm{P}}}}}  = \frac{d}{{dt}}\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \,{m_{\rm{P}}}\quad  \Rightarrow \quad \overrightarrow {{{\mathop{\rm R}\nolimits} _{ext \to {\rm{P}}}}}  = \,{m_{\rm{P}}}\overrightarrow {A({\rm{P}}/g)}\)

Remarque : on peut aussi dire que la somme des actions mécaniques s’exerçant sur un solide est nulle et que parmi ces actions il y a des forces d’inertie qui s’oppose à la mise en mouvement :

            \(\overrightarrow {{{\mathop{\rm R}\nolimits} _{ext \to {\rm{P}}}}}  - {m_{\rm{P}}}\overrightarrow {A({\rm{P}}/g)}  = \overrightarrow 0\)

Pour un solide, il faut sommer l’ensemble des points matériels qui le compose. Cela se traduit par un torseur \(\left\{ {{T_{ext \to S}}} \right\}\) équivalent à l’ensemble des actions mécaniques qui doit être égal à torseur \(\left\{ {{D_{S/g}}} \right\}\) équivalent à l’ensemble des variations de quantité de mouvement par rapport au temps et à un référentiel galiléen :

              \(\left\{ {{T_{ext \to S}}} \right\} = \left\{ {{D_{S/g}}} \right\} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{ext \to S}}} }\\{\overrightarrow {{M_{ext \to S}}(A)} }\end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {D(S/g)} }\\{\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} }\end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_i {\overrightarrow {{F_{i \to S}}}  = \int_S {\overrightarrow {A({\rm{P}}/g)} \;dm} } \\ \sum\limits_i {\overrightarrow {{M_{i \to S}}({\rm{A}})}  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {A({\rm{P}}/g)} \;dm} }\end{array} \right.\)