Repère principal d’inertie
La matrice du tenseur d’inertie est symétrique et à coefficients réels. Elle est diagonalisable dans la base propre du tenseur.
Les directions propres sont orthogonales et appelées directions principales. Elles forment la base \({R_p}.\)
Les valeurs propres réelles et positives sont les moments d’inertie principaux \({A_p},\) \({B_p},\) et \({C_p}.\)
\(\overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{r}} A&{ - F}&{ - E}\\ { - F}&B&{ - D}\\ { - E}&{ - D}&C \end{array}} \right]_R} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{r}} {{A_p}}&0&0\\ 0&{{B_p}}&0\\ 0&0&{{C_p}} \end{array}} \right]_{{R_p}}}\)
Remarque :
La trace et le déterminant du tenseur sont invariants.
La trace est \(Tr\left( {\overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}} } \right) = A + B + C = {A_p} + {B_p} + {C_p}\)
Le déterminant est \(\det\left( {\overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}} } \right) = {A_p}{B_p}{C_p} = ABC - 2FDE - B{E^2} - A{D^2} - C{F^2}\)