Opérateur d'inertie
Le produit vectoriel peut être vu comme une application linéaire :
\( \overrightarrow u \wedge \overrightarrow v \, = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right)_R} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)_R} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {bz - cy}\\ {cx - az}\\ {ay - bx} \end{array}} \right)_R} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - c}&b\\ c&0&{ - a}\\ { - b}&a&0 \end{array}} \right]_R}\;{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)_R} = \left[ U \right]\overrightarrow v = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&z&{ - y}\\ { - z}&0&x\\ y&{ - x}&0 \end{array}} \right]_R}\;{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right)_R} = - \left[ V \right]\overrightarrow u\)
Le double produit vectoriel est donc :
\(\overrightarrow v \wedge \left( {\overrightarrow u \wedge \overrightarrow v } \right)\, = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)_R} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {bz - cy}\\ {cx - az}\\ {ay - bx} \end{array}} \right)_R} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {y(ay - bx) - z(cx - az)}\\ {z(bz - cy) - x(ay - bx)}\\ {x(cx - az) - y(bz - cy)} \end{array}} \right)_R} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} + {z^2}}&{ - xy}&{ - xz}\\ { - xy}&{{z^2} + {x^2}}&{ - yz}\\ { - xz}&{ - yz}&{{x^2} + {y^2}} \end{array}} \right]_R}\;{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right)_R} = - {\left[ V \right]^2}\overrightarrow u\)
\(\left[ V \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - z}&y\\ z&0&{ - x}\\ { - y}&x&0 \end{array}} \right]_R} \Rightarrow \; - {\left[ V \right]^2} = - {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - z}&y\\ z&0&{ - x}\\ { - y}&x&0 \end{array}} \right]_R}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - z}&y\\ z&0&{ - x}\\ { - y}&x&0 \end{array}} \right]_R} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} + {z^2}}&{ - xy}&{ - xz}\\ { - xy}&{{z^2} + {x^2}}&{ - yz}\\ { - xz}&{ - yz}&{{x^2} + {y^2}} \end{array}} \right]_R}\)
En prenant \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{\rm{OP}}} = {\left( \begin{array}{l} x\\ y\\ z \end{array} \right)_R}\) position d’un point matériel \({\rm{P}}\) appartenant au solide \(S\) par rapport au point \({\rm{O}}\) et \(\overrightarrow u = \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}},\) on définit le tenseur d’inertie \(\overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}}\) en un point \({\rm{O}}\) comme étant l’intégrale suivante :
\(\begin{array}{l} \overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}} = \int_S { - {{\left[ V \right]}^2}dm} \\ = \int_S {{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} + {z^2}}&{ - xy}&{ - xz}\\ { - xy}&{{z^2} + {x^2}}&{ - yz}\\ { - xz}&{ - yz}&{{x^2} + {y^2}} \end{array}} \right]}_R}dm} \\ ={\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int_S {{y^2} + {z^2}dm} }&{ - \int_S {xy\,dm} }&{ - \int_S {xz\,dm} }\\ { - \int_S {xy\,dm} }&{\int_S {{z^2} + {x^2}dm} }&{ - \int_S {yz\,dm} }\\ { - \int_S {xz\,dm} }&{ - \int_S {yz\,dm} }&{\int_S {{x^2} + {y^2}dm} } \end{array}} \right]_R} \end{array}\)
Remarque :
Le tenseur d’inertie \(\overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}}\) dépend du point où il est défini et de la base dans laquelle il est exprimé.
Le tenseur d’inertie est généralement noté dans une base liée au solide \({R_i}(\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,\overrightarrow z )\) :
\( \overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_{xx}}}&{{I_{xy}}}&{{I_{xz}}}\\ {{I_{yx}}}&{{I_{yy}}}&{{I_{yz}}}\\ {{I_{zx}}}&{{I_{zy}}}&{{I_{zz}}} \end{array}} \right]_{{R_i}}}\) ou suivant la notation de Binet : \(\overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&{ - F}&{ - E}\\ { - F}&B&{ - D}\\ { - E}&{ - D}&C \end{array}} \right]_{{R_i}}}\)
Avec \(\begin{array}{l} A = {I_{xx}} = \int_S {({y^2} + {z^2})dm \ge 0} \\ B = {I_{yy}} = \int_S {({x^2} + {z^2})dm} \ge 0\\ C = {I_{zz}} = \int_S {({x^2} + {y^2})dm} \ge 0 \end{array}\) et \(\begin{array}{l} - D = {I_{yz}} = {I_{zy}} = - \int_S {yz\,dm} \\ - E = {I_{xz}} = {I_{zx}} = - \int_S {xz\,dm} \\ - F = {I_{xy}} = {I_{yx}} = - \int_S {xy\,dm} \end{array}\)
\(A,\) \(B\) et \(C\) sont les moments d’inertie respectivement par rapport aux axes \(({\rm{O}}\overrightarrow x ),\) \(({\rm{O}}\overrightarrow y )\) et \(({\rm{O}}\overrightarrow z ).\)
\(D,\) \(E\) et \(F\) sont les produits d’inertie.