Changement de repère de la matrice d’inertie
Pour exprimer le tenseur d’inertie dans une base \({R_j}\) à partir de son expression dans la base \({R_i},\) on utilisera les relations suivantes :
\({\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_j}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{r}} {A'}&{ - F}&{ - E'}\\ { - F'}&{B'}&{ - D'}\\ { - E'}&{ - D'}&{C'} \end{array}} \right]_{{R_j}}}\) avec \(\begin{array}{l} A' = \overrightarrow {{x_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{x_j}} \\ B' = \overrightarrow {{y_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{y_j}} \\ C' = \overrightarrow {{z_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{z_j}} \end{array}\) et \(\begin{array}{l} - D' = \overrightarrow {{z_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{y_j}} = \overrightarrow {{y_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{z_j}} \\ - E' = \overrightarrow {{z_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{x_j}} = \overrightarrow {{x_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{z_j}} \\ - F' = \overrightarrow {{x_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}}_{{R_i}}}.\overrightarrow {{y_j}} = \overrightarrow {{y_j}} .{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}.\overrightarrow {{x_j}} \end{array}\)
Les vecteurs \(\overrightarrow {{x_j}} ,\overrightarrow {{y_j}} ,\overrightarrow {{z_j}}\) de base de \({R_j}\) exprimés dans \({R_i}.\)
Cette méthode est avantageuse par rapport à la formule de changement de base de l’opérateur linéaire que représente le tenseur d’inertie : \({\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_j}}} = \left[ {{P_{ji}}} \right].{\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} _{{R_i}}}{\left[ {{P_{ji}}} \right]^t}\) avec \(\left[ {{P_{ji}}} \right]\) la matrice de passage.
Elle décompose le calcul élément par élément et le rend plus succinct évitant tout produit matriciel.