Etude d’un tribomètre
Un tribomètre est appareil permettant de mesurer le coefficient de frottement entre deux solides. On peut parfois visualiser ce qui se passe à « l’intérieur » du contact.
Ici, l’étude se fera sur un tribomètre pion – disque (exemple sur photo ci-contre). Grâce à la mesure du déplacement du bras (S2 sur le schéma) lorsque le disque tourne à vitesse constante, on peut connaître le coefficient de frottement de glissement (f) entre le pion (P2) et le disque (S1 sur le schéma).
Le système est constitué d’un bâti S0, référentiel galiléen avec \(\overrightarrow{{{z}_{0}}}\) la verticale descendante, et de 2 solides :
S1, Disque + arbre, en liaison pivot d’axe \((\text{O},\overrightarrow{{{z}_{0,1}}})\) avec S0 et paramétrée \(\psi =(\overrightarrow{{{x}_{0}}},\ \overrightarrow{{{x}_{1}}})\)
S2, Pion + bras, en liaison pivot glissant d’axe \(({{\text{O}}^{*}},\overrightarrow{{{y}_{0,2}}})\) avec S0, de paramètre de rotation \(\theta =(\overrightarrow{{{x}_{0}}},\ \overrightarrow{{{x}_{2}}})\) et de translation \(y=\overrightarrow{\text{O*}{{\text{O}}_{\text{2}}}}.\overrightarrow{{{y}_{0}}}.\)
Le contact ponctuel entre S1 et S2 se fait au point P du plan \((O,\ \overrightarrow{{{x}_{0}}},\ \overrightarrow{{{y}_{0}}})\) avec \(\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{2}}}\text{P}}=-a\ \overrightarrow{{{x}_{2}}}.\) Cette liaison n’est pas parfaite car on y considère du frottement.
Un ressort de raideur \(k\) est monté entre S2 et S0 de sorte que son action soit nulle pour \(y=0.\)
Un couple moteur (Cm) s’exerce sur l’arbre du solide S1 pour maintenir la vitesse de rotation de S1 par rapport à S0 constante (\(\dot{\psi }=\omega =cste\)).
Données inertielles du solide S1 : masse \({{m}_{1}}\), centre d’inertie \({{\text{G}}_{1}}\in (\text{O},\overrightarrow{{{z}_{1,0}}})\), moment d’inertie \({{C}_{1}}\) par rapport à l’axe \((\text{O},\overrightarrow{{{z}_{1,0}}}).\)
Données inertielles du solide S2 : masse \({{m}_{2}}\), centre d’inertie \({{\text{G}}_{2}}\) avec \(\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{2}}}{{\text{G}}_{\text{2}}}}=-b\ \overrightarrow{{{x}_{2}}},\) moment d’inertie \({{A}_{2}}\) par rapport à \(({{\text{G}}_{2}},\overrightarrow{{{y}_{0,2}}}).\)
Question
Etablir le graphe des liaisons, les figures de changement de base, et la ou les équations de liaison.
Solution
Graphe des liaisons
Figures de changement de bases
Equation de liaison due au contact
\(\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{{\rm{P}}_{\rm{2}}}} .\overrightarrow {{z_{0,1}}} = 0\quad \Rightarrow \quad a\sin \theta = 0\quad \Rightarrow \quad \theta = 0\)
Il y a contact entre 1 et 2 si l’angle est nul \(\theta = 0\).
On considère à partir de maintenant que cette condition comme vérifiée.
Question
Effectuer le bilan complet (équations, inconnues), puis simplifié en vue d’obtenir les équations de mouvement.
Solution
Tableau bilan complet
| inconnues | 17 | équations | 17 |
Cinématique | Paramètre de la liaison entre 0 et 1 \(\psi\) |
1 | Equation de liaison (contact en \({\rm{P}}\)) | 1 |
Paramètres de la liaison entre 0 et 2 \(\theta\) et \(y\)
|
2 | Asservissement moteur \(\dot \psi = \omega = cte\) | 1 | |
Dynamique | Actions transmises entre 0 et 1 par le pivot \({X_{01}}\), \({Y_{01}}\), \({Z_{01}}\), \(M{x_{01}}\) et \(M{y_{01}}\) |
5 | PFD appliqué au solide 1 | 6 |
Actions transmises entre 1 et 2 par le contact imparfait \({X_{12}}\), \({Y_{12}}\) et \({Z_{12}}\) |
3 | Loi de comportement de frottement | 2 | |
Actions transmises entre 0 et 2 par le pivot glissant \({X_{02}}\), \({Z_{02}}\),\(M{x_{02}}\) et \(M{z_{02}}\) |
4 | PFD appliqué au solide 2 | 6 | |
Action du ressort entre 0 et 2 \({F_R}\) | 1 | Loi de comportement du ressort | 1 | |
Couple moteur exercé sur 1 \({C_m}\) | 1 |
|
|
Il y a aussi l’action de la gravité mais elle est connue donc n’apparaît pas dans le tableau.
Bilan simplifié en vue d’obtenir les équations de mouvement (c'est-à-dire les expressions qui lient les paramètres cinématiques)
| inconnues | 7 | équations | 7 |
Cinématique | Paramètres \(\psi\), \(\theta\) et \(y\) | 3 | Equation de liaison (contact en \({\rm{P}}\)) Asservissement moteur \(\dot \psi = \omega = cte\) | 1 1 |
Dynamique | Ponctuelle 12 frottante \({X_{12}},\) \({Y_{12}}\) et \({Z_{12}}\) | 3 | Equation du moment dynamique du solide 1 suivant \(\overrightarrow {{z_{0,1}}}\) en \({\rm{O}}\) ou \({{\rm{G}}_{\rm{1}}}\) | 1 |
| Equation du moment dynamique du solide 2 suivant \(\overrightarrow y\) en \({{\rm{O}}_{\rm{2}}}\) ou \({{\rm{O}}^{\rm{*}}}\) | 1 | ||
| Equation de la résultante dynamique du solide 2 suivant \(\overrightarrow y\) | 1 | ||
| Couple moteur exercé sur 1 \({C_m}\) | 1 | Loi de comportement de frottement | 2 |
Question
Déterminer les équations de mouvement ‘du bras’ et ‘du disque’. (Équation de mouvement : équation ne faisant pas intervenir les inconnues de liaison).
Solution
L’équation du moment dynamique du solide 1 suivant \(\overrightarrow {{z_{0,1}}}\) en est : \(\sum {\overrightarrow {{M_{ext \to 1}}({\rm{O}})} } .\overrightarrow {{z_{0,1}}} = \overrightarrow {\delta \left( {{\rm{O,1/0}}} \right)} \overrightarrow {{z_{0,1}}}\)
Les actions mécaniques s’exerçant sur le solide 1 sont :
le poids dont le moment est nul au point \({\rm{O}}\) car \(\overrightarrow {{\rm{O}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}}\) est suivant la verticale
l’action de 0 sur 1 dont la composante du moment suivant \(\overrightarrow {{z_{0,1}}}\) est nulle
l’action du couple moteur \(\overrightarrow {{M_{moteur \to 1}}({\rm{O}})} .\overrightarrow {{z_{0,1}}} = {C_m}\)
l’action de 2 sur 1 \(\overrightarrow {{M_{2 \to 1}}({\rm{O}})} = \overrightarrow {{\rm{OP}}} \wedge \overrightarrow {{F_{2 \to 1}}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {d - a}\\ y\\ 0 \end{array}} \right)_{{R_0}}} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_{21}}}\\ {{Y_{21}}}\\ {{Z_{21}}} \end{array}} \right)_{{R_0}}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {y{Z_{21}}}\\ { - \left( {d - a} \right){Z_{21}}}\\ {\left( {d - a} \right){Y_{21}} - y{X_{21}}} \end{array}} \right)_{{R_0}}}\)
Le moment dynamique en \({\rm{O}}\) du solide 1 par rapport à 0 est :
\(\overrightarrow {\delta ({\rm{O}},1/0)} = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({\rm{O}},1/0)} } \right)_{{R_0}}}\) car \({\rm{O}}\) fixe dans \({R_0}.\)
\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\sigma ({\rm{O}},1/0)} = \overline{\overline {{I_{{\rm{O}},1}}}} .\overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} \\ = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&0&0\\ 0&{{A_1}}&0\\ 0&0&{{C_1}} \end{array}} \right]_{{R_1}}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \psi } \end{array}} \right)_{{R_1}}}\\ = {C_1}\dot \psi \overrightarrow {{z_{0,1}}} \end{array}\) car \({\rm{O}}\) fixe dans \({R_0}\) et \({R_1}.\)
\(\overrightarrow {\delta ({\rm{O}},1/0)} = {C_1}\ddot \psi \overrightarrow {{z_{0,1}}}\)
On a donc la relation : \({C_m} + \left( {d - a} \right){Y_{21}} - y{X_{21}} = {C_1}\ddot \psi\)
Les actions mécaniques s’exerçant sur le solide 2 sont :
le poids suivant \(\overrightarrow{z_{0,1}}\) dont le moment au point \({{\rm{O}}_{\rm{2}}}\) est :
\(\overrightarrow {{M_{p \to 2}}({{\rm{O}}_{\rm{2}}})} = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{\rm{G}}} \wedge {m_2}g\overrightarrow {{z_{0,1}}} = - b\overrightarrow {{x_{0,2}}} \wedge {m_2}g\overrightarrow {{z_{0,1}}} = b{m_2}g\overrightarrow {{y_0}}\)
l’action de 0 sur 2 dont la composante suivant \(\overrightarrow {{y_{0,2}}}\) est nulle et son moment autour de \(\overrightarrow {{y_{0,2}}}\) aussi
l’action du ressort dont la loi de comportement est : \(\overrightarrow {{F_{1 \to 2}}} = - k\left( {l - {l_0}} \right)\frac{{\overrightarrow {{{\rm{O}}^{\rm{*}}}{{\rm{O}}_{\rm{2}}}} }}{{\left\| {\overrightarrow {{{\rm{O}}^{\rm{*}}}{{\rm{O}}_{\rm{2}}}} } \right\|}} = - ky\overrightarrow {{y_{0,2}}}\)
l’action de 1 sur 2 dont la composante sur \(\overrightarrow {{y_{0,2}}}\) est \({Y_{12}} = - {Y_{21}}\) et le moment \(\overrightarrow {{M_{1 \to 2}}({{\rm{O}}_{\rm{2}}})} = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{\rm{P}}} \wedge \overrightarrow {{F_{1 \to 2}}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - a}\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)_{{R_0}}} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {X_{21}}}\\ { - {Y_{21}}}\\ { - {Z_{21}}} \end{array}} \right)_{{R_0}}} = {\left({\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - a{Z_{21}}}\\ {a{Y_{21}}} \end{array}} \right)_{{R_0}}}\)
La résultante dynamique du solide 2 par rapport à 0 est : \(\overrightarrow {D(2/0)} = {m_2}\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)} = {m_2}\ddot y\overrightarrow {{y_{0,2}}}\)
L’équation de la résultante dynamique du solide 2 suivant \(\overrightarrow {{y_{0,2}}}\) est : \(\sum {\overrightarrow {{F_{ext \to 2}}} } .\overrightarrow {{y_{0,2}}} = {m_2}\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)} .\overrightarrow {{y_{0,2}}}\)
\(- ky - {Y_{21}} = {m_2}\ddot y\)
Le moment dynamique en \({{\rm{O}}_{\rm{2}}}\) du solide 2 par rapport à 0 est :
\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\delta ({{\rm{O}}_{\rm{2}}},2/0)} = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({{\rm{O}}_{\rm{2}}},2/0)} } \right)_{{R_0}}} + \overrightarrow {V({{\rm{O}}_{\rm{2}}}/0)} \wedge {m_2}\overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{2}}},2/0)} \\ = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({{\rm{O}}_{\rm{2}}},2/0)} } \right)_{{R_0}}} + \dot y\overrightarrow {{y_{0,2}}} \wedge {m_2}\dot y\overrightarrow {{y_{0,2}}} \\ = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({{\rm{O}}_{\rm{2}}},2/0)} } \right)_{{R_0}}} + \overrightarrow 0 \end{array}\)
\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\sigma ({{\rm{O}}_{\rm{2}}},2/0)} = \overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{2}}},2}}}} .\overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} + \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}} \wedge {m_2}\overrightarrow {V({{\rm{O}}_{\rm{2}}},2/0)} \\ = \overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{2}}},2}}}} .\overrightarrow 0 - b\overrightarrow {{x_{0,2}}} \wedge {m_2}\dot y\overrightarrow {{y_{0,2}}} \\ = - b{m_2}\dot y\overrightarrow {{z_{0,2}}} \end{array}\)
\(\overrightarrow {\delta ({{\rm{O}}_{\rm{2}}},2/0)} = - b{m_2}\ddot y\overrightarrow {{z_{0,2}}}\)
L’équation du moment dynamique du solide 2 suivant \(\overrightarrow {{y_{0,2}}}\) en \({{\rm{O}}_{\rm{2}}}\) est :
\(\sum {\overrightarrow {{M_{ext \to 2}}({{\rm{O}}_{\rm{2}}})} } .\overrightarrow {{y_{0,2}}} = \overrightarrow {\delta \left( {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{\rm{,2/0}}} \right)} .\overrightarrow {{y_{0,2}}}\)
\(b{m_2}g - a{Z_{21}} = 0\)
Question
Pour un fonctionnement en régime stationnaire \(\dot{\psi }=\omega =cte\) et \(y={{y}^{*}}=cte\), déterminer le coefficient de frottement \(f\) en fonction de \(y^*\), et le couple moteur nécessaire (\(Cm\)) :
par les théorèmes généraux,
par le théorème de l'énergie cinétique.
Solution
A partir des équations PFD
On obtient l’équation du mouvement du bras (2) en remplaçant les actions mécaniques par leur expression en fonction des paramètres cinématiques dans l’équation de la résultante dynamique suivant \(\overrightarrow y\) :
\({m_2}\ddot y + ky - \frac{f}{{{V_P}}}\frac{b}{a}{m_2}g\left( {\left( {d - a} \right)\dot \psi - \dot y} \right) = 0\)
On obtient l’équation du mouvement du disque (1) en remplaçant les actions mécaniques par leur expression en fonction des paramètres cinématiques dans l’équation du moment dynamique suivant \(\overrightarrow z\) :
\({C_m} + \left( {d - a} \right)\frac{f}{{{V_p}}}\frac{b}{a}{m_2}g\left( {\left( {d - a} \right)\dot \psi - \dot y} \right) + {y^2}\dot \psi \frac{f}{{{V_p}}}\frac{b}{a}{m_2}g - {C_1}\ddot \psi = 0\)
En fonctionnement à régime constant, c'est-à-dire quand \(\dot \psi = \omega = cste\), \(\ddot \psi = 0\) et \(y = {y^*}\), \(\dot y = 0\) et \(\ddot y = 0\)
Les équations précédentes deviennent :
\({C_m} = - f\frac{b}{a}{m_2}g\omega \frac{{{{\left( {d - a} \right)}^2} + {y^2}}}{{V_p^*}} = - f\frac{b}{a}{m_2}g\sqrt {{y^{*2}} + {{\left( {d - a} \right)}^2}}\)
\({y^*} = \frac{f}{{V_p^*}}\frac{b}{a}\frac{{{m_2}}}{k}g\left( {d - a} \right)\omega\)
\(V_p^* = \omega \sqrt {{y^{*2}} + {{\left( {d - a} \right)}^2}}\)
Par le théorème de l'énergie cinétique
On considère l’ensemble du système \(\Sigma = \left\{ {1,2} \right\}\).
Calcul de l’énergie cinétique
\({T_{\Sigma /0}} = {T_{1/0}} + {T_{2/0}}\)
\({T_{1/0}} = \frac{1}{2}{m_1}{\overrightarrow {V({{\rm{G}}_1}/0)} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} \overline{\overline {{I_{{{\rm{G}}_1},1}}}} \overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} = 0 + \frac{1}{2}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{\dot \psi } \end{array}} \right)_1}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} .\\ .\\ 0 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} .\\ .\\ 0 \end{array}\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {{C_1}} \end{array}} \right]_1}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \psi } \end{array}} \right)_1} = \frac{1}{2}{C_1}{\dot \psi ^2}\)
\({T_{2/0}} = \frac{1}{2}{m_2}{\overrightarrow {V({{\rm{G}}_2}/0)} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} \overline{\overline {{I_{{{\rm{G}}_2},2}}}} \overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} = \frac{1}{2}{m_2}{\dot y^2} + 0\)
\({T_{\Sigma /0}} = \frac{1}{2}{C_1}{\dot \psi ^2} + \frac{1}{2}{m_2}{\dot y^2}\)
Calcul des puissances
Actions extérieures
Action de 0 sur 1 (liaison pivot parfaite)
\({P_{0 \to 1/0}} = \overrightarrow {{F_{0 \to 1}}} .\overrightarrow {V({{\rm{O}}_1}/0)} + \overrightarrow {{M_{0 \to 1}}({{\rm{O}}_1})} \overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} = 0\)
Action de 0 sur 2 (liaison pivot glissante parfaite)
\({P_{0 \to 2/0}} = \overrightarrow {{F_{0 \to 2}}} .\overrightarrow {V({{\rm{O}}_2}/0)} + \overrightarrow {{M_{0 \to 2}}({{\rm{O}}_2})} \overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} = 0\)
Couple moteur sur 1
\({P_{m \to 1/0}} = {C_m}\overrightarrow {{z_{0,1}}} .\overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} = {C_m}\overrightarrow {{z_{0,1}}} .\dot \psi \overrightarrow {{z_{0,1}}} . = {C_m}\dot \psi\)
Ressort sur 2
\({P_{r \to 2/0}} = - ky\overrightarrow {{y_{0,2}}} .\overrightarrow {V({{\rm{O}}_2}/0)} + \overrightarrow 0 .\overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} = - ky\dot y\)
Pesanteur sur 1 et 2 (=0 car les altitudes des centres de masse sont constantes)
\({P_{pes \to \Sigma /0}} = {P_{pes \to 1/0}} + {P_{pes \to 2/0}} = {m_1}g\overrightarrow {{z_0}} .\overrightarrow {V({{\rm{G}}_1}/0)} + {m_2}g\overrightarrow {{z_0}} .\overrightarrow {V({{\rm{G}}_2}/0)} = 0\)
Remarque :
Pour le ressort et la pesanteur, on aurait pu calculer à partir des fonctions de force.
Actions intérieures au système \(\Sigma = \left\{ {1,2} \right\}\)
Liaison ponctuelle imparfaite entre 1 et 2 (actions de 1 sur 2 et de 2 sur 1)
\(\begin{array}{c} {P_{L12/0}} = \overrightarrow {{F_{2 \to 1}}} .\overrightarrow {V({{\rm{P}}_2},1/2)} + \overrightarrow {{M_{2 \to 1}}({{\rm{P}}_2})} \overrightarrow {{\Omega _{1/2}}} \\ = {\left( \begin{array}{l} {X_{21}}\\ {Y_{21}}\\ {Z_{21}} \end{array} \right)_0}.{\left( \begin{array}{l} - y\dot \psi \\ \left( {d - a} \right)\dot \psi - \dot y\\ 0 \end{array} \right)_0} + \overrightarrow 0 .\overrightarrow {{\Omega _{1/2}}} \\ = - y\dot \psi {X_{21}} + \left( {\left( {d - a} \right)\dot \psi - \dot y} \right){Y_{21}} \end{array}\)
Théorème de l’énergie cinétique
\(\frac{{d{T_{\Sigma /0}}}}{{dt}} = {P_{ext \to \Sigma /0}} + {P_{int}}\)
\(\frac{d}{{dt}}\left( {\frac{1}{2}{C_1}{{\dot \psi }^2} + \frac{1}{2}{m_2}{{\dot y}^2}} \right) = {C_m}\dot \psi - ky\dot y - y\dot \psi {X_{21}} + \left( {\left( {d - a} \right)\dot \psi - \dot y} \right){Y_{21}}\)
\({C_1}\dot \psi \ddot \psi + {m_2}\dot y\ddot y = {C_m}\dot \psi - ky\dot y - y\dot \psi {X_{21}} + \left( {\left( {d - a} \right)\dot \psi - \dot y} \right){Y_{21}}\)
En fonctionnement à régime stationnaire, c'est-à-dire quand \(\dot \psi = \omega = cste\), \(\ddot \psi = 0\) et \(y = {y^*}\), \(\dot y = 0\) et \(\ddot y = 0\)
\(0 = {C_m}\omega - {y^*}\omega {X_{21}} + \left( {d - a} \right)\omega {Y_{21}}\)
\({C_m} = {y^*}{X_{21}} - \left( {d - a} \right){Y_{21}}\)
On retrouve l’équation du PFD donc on retrouve la même valeur du couple moteur.