Dynamique des systèmes mécaniques

Le couple moteur : \(\left\{ {{T_{moteur0 \to 3}}} \right\} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 0&0\\ 0&{{C_m}} \end{array}} \right\}_0}\)

L’action de pesanteur : \({\left\{ {{T_{pesanteur \to 3}}} \right\}_{{{\rm{G}}_{\rm{3}}}}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ {{m_3}g}&0\\ 0&0 \end{array}} \right\}_0}\) ou \({\left\{ {{T_{pesanteur \to 3}}} \right\}_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}}}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{m_3}gc}\\ {{m_3}g}&0\\ 0&{ - {m_3}gb\sin \theta } \end{array}} \right\}_0}\)

Car

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {{M_{pes \to 3}}\left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}} \right)}  = \overrightarrow {{M_{pes \to 3}}\left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}} \right)}  + \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}}  \wedge {m_3}g\overrightarrow {{y_0}} \\  = {\left( \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right)_0} + {\left( \begin{array}{c}  - b\sin \theta \\ b\cos \theta \\ c \end{array} \right)_0} \wedge {\left( \begin{array}{l} 0\\ {m_3}g\\ 0 \end{array} \right)_0} = {\left( \begin{array}{l}  - {m_3}gc\\ 0\\  - {m_3}gb\sin \theta \end{array} \right)_0} \end{array}\)

avec \(\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}}  = b\overrightarrow {{y_3}}  + c\overrightarrow {{z_3}}  =  - b\sin \theta \overrightarrow {{x_0}}  + b\cos \theta \overrightarrow {{y_0}}  + c\overrightarrow {{z_0}}\)

L’action de la liaison pivot entre le bâti (0) et la roue à équilibrer (3) : \({\left\{ {{T_{0 \to 3}}} \right\}_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}}}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_{03}}}&{M{x_{03}}}\\ {{Y_{03}}}&{M{y_{03}}}\\ {{Z_{03}}}&0 \end{array}} \right\}_{{R_0}}}\)

En effet, le torseur a la même forme sur l’axe du pivot

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {{M_{0 \to 3}}\left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}} \right)}  = \overrightarrow {{M_{pes \to 3}}\left( {\rm{O}} \right)}  + \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{O}}}  \wedge \overrightarrow {{F_{0 \to 3}}} \\  = {\left( \begin{array}{c} Mx\\ My\\ 0 \end{array} \right)_{{R_0}}} + {\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ d \end{array} \right)_{{R_0}}} \wedge {\left( \begin{array}{l} {X_{03}}\\ {Y_{03}}\\ {Z_{03}} \end{array} \right)_{{R_0}}} = {\left( \begin{array}{l} Mx - d\,{Y_{03}}\\ My + d\,{X_{03}}\\ 0 \end{array} \right)_{{R_0}}} = {\left( \begin{array}{l} M{x_{03}}\\ M{y_{03}}\\ 0 \end{array} \right)_{{R_0}}} \end{array}\)

\(\overrightarrow {{D_{3/0}}}  = {m_3}\overrightarrow {\Gamma \left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}/0} \right)}\) où \({{\rm{G}}_{\rm{3}}}\) le centre de masse de 3.

Par dérivation avec la base mobile :

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {V\left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}/0} \right)}  = {\left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}} } \right]_{{R_0}}} = {\left[ {\frac{d}{{dt}}\left( {b\overrightarrow {{y_3}}  + c\overrightarrow {{z_3}} } \right)} \right]_{{R_0}}}\quad {\rm{car}}\;{{\rm{O}}_{\rm{3}}}\;{\rm{fixe}}\;{\rm{dans}}\;{R_0}\\  = {\left[ {\frac{d}{{dt}}\left( {b\overrightarrow {{y_3}}  + c\overrightarrow {{z_3}} } \right)} \right]_{{R_0}}} + \,\overrightarrow {{\Omega _{3/0}}}  \wedge \left( {b\overrightarrow {{y_3}}  + c\overrightarrow {{z_3}} } \right)\\  = \dot \theta \overrightarrow z  \wedge \left( {b\overrightarrow {{y_3}}  + c\overrightarrow {{z_3}} } \right)\\  =  - b\dot \theta \,\overrightarrow {{x_3}} \\ \\ \overrightarrow {\Gamma\left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}/0} \right)}  = {\left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {V\left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}/0} \right)} } \right]_{{R_0}}} = {\left[ {\frac{d}{{dt}}\left( { - b\dot \theta \,\overrightarrow {{x_3}} } \right)} \right]_{{R_0}}}\quad {\rm{car}}\; {{\rm{O}}_{\rm{3}}}\;{\rm{fixe}}\;{\rm{dans}}\;{R_0}\\  =  - b\ddot \theta \,\overrightarrow {{x_3}}  + \dot \theta \overrightarrow z  \wedge  - b\dot \theta \,\overrightarrow {{x_3}} \\  =  - b\ddot \theta \,\overrightarrow {{x_3}}  - b{{\dot \theta }^2}\,\overrightarrow {{y_3}} \end{array}\)

Si la roue est entrainée en rotation à vitesse constante \(\dot \theta  = \omega  = cte\) alors \(\ddot \theta  = 0\).

Donc \({m_3}\overrightarrow {\Gamma \left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}/0} \right)}  =  - {m_3}b{\omega ^2}\,\overrightarrow {{y_3}}.\)

Par formule du champ des accélérations :

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{3}}},3/0)}  = \overrightarrow {\Gamma ({{\rm{O}}_{\rm{3}}},3/0)}  + {\left( {\frac{{d\overrightarrow {{\Omega _{3/0}}} }}{{dt}}} \right)_{{R_3}}} \wedge \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}}  + \overrightarrow {{\Omega _{3/0}}}  \wedge \left( {\overrightarrow {{\Omega _{3/0}}}  \wedge \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}} } \right)\\  = \overrightarrow 0  + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\ddot \theta } \end{array}} \right)_{{R_3}}} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ b\\ c \end{array}} \right)_{{R_3}}} + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \theta } \end{array}} \right)_{{R_3}}} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \theta } \end{array}} \right)_{{R_3}}} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ b\\ c \end{array}} \right)_{{R_3}}} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - b\ddot \theta }\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)_{{R_3}}} + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \theta } \end{array}} \right)_{{R_3}}} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - b\dot \theta }\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)_{{R_3}}}\\  =  - b\ddot \theta \overrightarrow {{x_3}}  - b\dot \theta \overrightarrow {{y_3}} \end{array}\)

\(\overrightarrow {\Gamma \left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}/0} \right)}  = b\left( { - \ddot \theta \cos \theta  + {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)\overrightarrow {{x_0}}  - b\left( {\ddot \theta \sin \theta  + b{{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)\overrightarrow {{y_0}}\)

En \({{\rm{O}}_{\rm{3}}}\) :

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\sigma \left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,3}}/0} \right)}  = \overline{\overline {{I_{{O_3},3}}}} \overrightarrow {{\Omega _{3/0}}}  + m\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}}  \wedge \overrightarrow {V\left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,3}}/0} \right)} \\  = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_3}}&{ - {F_3}}&{ - {E_3}}\\ { - {F_3}}&{{B_3}}&{ - {D_3}}\\ { - {E_3}}&{ - {D_3}}&{{C_3}} \end{array}} \right]_3}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \theta } \end{array}} \right)_3} + \overrightarrow 0 \quad {\rm{car}}\;{{\rm{O}}_{\rm{3}}}\;{\rm{fixe}}\;{\rm{dans}}\;{R_0}\\  =  - {E_3}\dot \theta \overrightarrow {{x_3}}  - {D_3}\dot \theta \overrightarrow {{y_3}}  + {C_3}\dot \theta \overrightarrow {{z_3}} \end{array}\)

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\delta \left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,3}}/0} \right)}  = {\left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {\sigma \left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,3}}/0} \right)} } \right]_0} + \overrightarrow {V\left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}/0} \right)}  \wedge m\overrightarrow {V\left( {{{\rm{G}}_{\rm{3}}}/0} \right)} \\  = {\left[ {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {\sigma \left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,3}}/0} \right)} } \right]_0}\quad {\rm{car}}\;{{\rm{O}}_{\rm{3}}}\;{\rm{fixe}}\;{\rm{dans}}\;{R_0}\\  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {E_3}\ddot \theta }\\ { - {D_3}\ddot \theta }\\ {{C_3}\ddot \theta } \end{array}} \right)_3} + {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \theta } \end{array}} \right)_3} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {E_3}\dot \theta }\\ { - {D_3}\dot \theta }\\ {{C_3}\dot \theta } \end{array}} \right)_3}\\  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {E_3}\ddot \theta  + {D_3}{{\dot \theta }^2}}\\ { - {D_3}\ddot \theta  - {E_3}{{\dot \theta }^2}}\\ {{C_3}\ddot \theta } \end{array}} \right)_3} \end{array}\)

Si la roue est entrainée en rotation à vitesse constante \(\dot \theta  = \omega  = cte\) alors \(\ddot \theta  = 0\).

Donc \(\overrightarrow {\delta \left( {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,3}}/0} \right)}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_3}{\omega ^2}}\\ { - {E_3}{\omega ^2}}\\ 0 \end{array}} \right)_3}\)

Quand la roue n’est pas équilibrée, les efforts dans la liaison varient sinusoïdalement.

Quand la roue est équilibrée, \(b = 0\), \({D_3} = 0\) et \({E_3} = 0\), les efforts dans la liaison sont constants et uniquement dus au poids. Ceci limite les vibrations et augmentent la durée de vie des pièces mécaniques telles que les roulements (phénomène de fatigue).

Application numérique :

Gravité :  9.81\(\mathrm{m.s^{−2}}\)

Rayon de la roue :  0.3 \(\mathrm{m}\)

Moment d’inertie de la roue : J = 0.5\(\mathrm{kg.m^2}\)