Dynamique des systèmes mécaniques

On dit qu’un système est équilibré statiquement si le centre de masse \({\rm{G'}}_{\rm{3}}^{}\) de l’ensemble \(S'_3 = \left\{ {S_3^{} + {m_1} + {m_2}} \right\}\) est sur l’axe de rotation \(\left( {{{\rm{O}}_3},\overrightarrow {{z_3}} } \right)\). C’est-à-dire si \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{G}}{{\rm{'}}_{\rm{3}}}} .\overrightarrow {{x_3}}  = 0\\ \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{G}}{{\rm{'}}_{\rm{3}}}} .\overrightarrow {{y_3}}  = 0 \end{array} \right.\)

La position du centre d’inertie \({\rm{G'}}_{\rm{3}}\) de l’ensemble \(S'_3\) est défini par :

\(\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{G}}{{\rm{'}}_{\rm{3}}}}  = \frac{{{m_1}\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}}  + {m_2}\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}}  + {m_3}\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}} }}{{{m_1} + {m_2} + {m_3}}}\)

avec \(\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{3}}}}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b\\ c \end{array}} \right)_3},\) \(\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} r\\ 0\\ h \end{array}} \right)_1}\) et \(\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{r}} r\\ 0\\ { - h} \end{array}} \right)_2}\)

Si le centre d’inertie \({\rm{G'}}_{\rm{3}}\) est sur l’axe \(\left( {{{\rm{O}}_3},\overrightarrow {{z_3}} } \right)\) alors ces coordonnées par rapport à \({{\rm{O}}_3}\) sont égales à 0 suivant \(\overrightarrow {{x_3}}\) et \(\overrightarrow {{y_3}}\) :

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{G}}{{\rm{'}}_{\rm{3}}}} .\overrightarrow {{x_3}}  = 0\\ \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{G}}{{\rm{'}}_{\rm{3}}}} .\overrightarrow {{y_3}}  = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} {m_1}r\cos {\varphi _1} + {m_2}r\cos {\varphi _2} + {m_3}a = 0\\ {m_1}r\sin {\varphi _1} + {m_2}r\sin {\varphi _2} + {m_3}b = 0 \end{array} \right.\)

On dit qu’un système est équilibré dynamiquement si l’axe de rotation \(\left( {{{\rm{O}}_3},\overrightarrow {{z_3}} } \right)\) est direction principale d’inertie de l’ensemble \(S'_3 = \left\{ {S_3^{} + {m_1} + {m_2}} \right\}.\) C’est-à-dire \(\left\{ \begin{array}{c} D{'_3} = 0\\ E{'_3} = 0 \end{array} \right.\)

La matrice d’inertie de l’ensemble \(S'_3\) est la somme des matrices d’inertie des 3 solides qui le composent :

\(\overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,}}3'}}}}  = \overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,1}}}}}}  + \overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,2}}}}}}  + \overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{,3}}}}}}\)

Elles doivent être exprimées au même point (ici \({{\rm{O}}_3}\)) et dans la même base (ici \({R_3}\)).

\(\overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_3},3}}}}  = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_3}}&{ - {F_3}}&{ - {E_3}}\\ { - {F_3}}&{{B_3}}&{ - {D_3}}\\ { - {E_3}}&{ - {D_3}}&{{C_3}} \end{array}} \right]_3}\)

Par définition, le tenseur d’inertie d’un solide \(S\) en un point \({\rm{O}}\) dans une base \(R\) est :

\(\overline{\overline {{I_{{\rm{O}},S}}}}  = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A&{ - F}&{ - E}\\ { - F}&B&{ - D}\\ { - E}&{ - D}&C \end{array}} \right]_R} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\int_S {{y^2} + {z^2}dm} }&{ - \int_S {xy\,dm} }&{ - \int_S {xz\,dm} }\\ { - \int_S {xy\,dm} }&{\int_S {{z^2} + {x^2}dm} }&{ - \int_S {yz\,dm} }\\ { - \int_S {xz\,dm} }&{ - \int_S {yz\,dm} }&{\int_S {{x^2} + {y^2}dm} } \end{array}} \right]_R}\)

Donc le tenseur d’inertie en \({{\rm{O}}_3}\) dans la base \({R_3}\) pour une masse ponctuelle \({m_1}\) concentrée en \({{\rm{G}}_1}\) sera :

\(\overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}},1}}}}  = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}}&{ - {F_1}}&{ - {E_1}}\\ { - {F_1}}&{{B_1}}&{ - {D_1}}\\ { - {E_1}}&{ - {D_1}}&{{C_1}} \end{array}} \right]_3} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_1}\left( {{r^2}{{\sin }^2}{\varphi _1} + {h^2}} \right)}&{ - {m_1}{r^2}\cos {\varphi _1}\sin {\varphi _1}}&{ - {m_1}hr\cos {\varphi _1}}\\ { - {m_1}{r^2}\cos {\varphi _1}\sin {\varphi _1}}&{{m_1}\left( {{r^2}{{\cos }^2}{\varphi _1} + {h^2}} \right)}&{ - {m_1}hr\sin {\varphi _1}}\\ { - {m_1}hr\cos {\varphi _1}}&{ - {m_1}hr\sin {\varphi _1}}&{{m_1}{r^2}} \end{array}} \right]_3}\)

car \(\begin{array}{l} x = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}} .\overrightarrow {{x_3}}  = r\cos {\varphi _1}\\ y = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}} .\overrightarrow {{y_3}}  = r\sin {\varphi _1}\\ z = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}} .\overrightarrow {{z_3}}  = h \end{array}\)

De même pour la masse 2, on a :

\(\overline{\overline {{I_{{{\rm{O}}_{\rm{3}}},2}}}}  = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_2}\left( {{r^2}{{\sin }^2}{\varphi _2} + {h^2}} \right)}&{ - {m_2}{r^2}\cos {\varphi _2}\sin {\varphi _1}}&{{m_2}hr\cos {\varphi _2}}\\ { - {m_2}{r^2}\cos {\varphi _2}\sin {\varphi _2}}&{{m_2}\left( {{r^2}{{\cos }^2}{\varphi _2} + {h^2}} \right)}&{{m_2}hr\sin {\varphi _2}}\\ {{m_2}hr\cos {\varphi _2}}&{{m_2}hr\sin {\varphi _2}}&{{m_2}{r^2}} \end{array}} \right]_3}\) car \(\begin{array}{l} x = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}} .\overrightarrow {{x_3}}  = r\cos {\varphi _2}\\ y = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}} .\overrightarrow {{y_3}}  = r\sin {\varphi _2}\\ z = \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}} .\overrightarrow {{z_3}}  =  - h \end{array}\)

On a finalement les deux relations suivantes :

\(\left\{ \begin{array}{c} D{'_3} = {D_1} + {D_2} + {D_3} = 0\\ E{'_3} = {E_1} + {E_2} + {E_3} = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} D{'_3} = {m_1}rh\sin {\varphi _1} - {m_2}rh\sin {\varphi _2} + {D_3} = 0\\ E{'_3} = {m_1}rh\cos {\varphi _1} - {m_2}rh\cos {\varphi _2} + {E_3} = 0 \end{array} \right.\)

On a 4 équations qui permettent de déterminer les 4 inconnues que sont \({m_1}\), \({m_2}\), \({\varphi _1}\) et \({\varphi _2}\).