Dynamique des systèmes mécaniques

Tableau bilan du système minimum pour obtenir les équations du mouvement

De manière à déterminer les équations régissant le mouvement (x, q) sans faire apparaitre les composantes d’action de liaisons, on écrit pour chaque liaison les équations du PFD suivant les composantes nulles du torseur en isolant l’ensemble des solides en bout de chaîne cinématique (c’est-à-dire après la liaison du côté où il n’y a pas le bâti). Ces deux équations sont :

• le Théorème du Moment Dynamique appliqué au solide 2 en \({{\rm{G}}_1}\) suivant \(\overrightarrow {{y_1}}\)

• le Théorème de la Résultante Dynamique appliqué à l’ensemble {1U2} suivant \(\overrightarrow {{x_0}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l} {\rm{m}}{{\rm{l}}^{\rm{2}}}\ddot \theta  + {\rm{ml}}\ddot x\cos \theta  =  - {\rm{mgl}}\sin \theta \\ {\rm{ml}}\ddot \theta \cos \theta  - {\rm{ml}}{{\dot \theta }^2}\sin \theta  + \left( {{\rm{M}} + {\rm{m}}} \right){\rm{\ddot x}} =  - {\rm{K}}x - {\rm{b}}\dot x \end{array} \right.\)

Appliqué à 1+2 sur \(\overrightarrow {{x_0}}\)

Calcul de la résultante dynamique de {1+2} :

\(\overrightarrow {{D_{\left\{ {1 + 2} \right\}/0}}}  = \overrightarrow {{D_{1/0}}}  + \overrightarrow {{D_{2/0}}}  = M\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{1}}}/0)}  + m\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)}\)

\(\overrightarrow {{\rm{O}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}}  = x\overrightarrow {{x_{0,1}}} \Rightarrow \overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{1}}}/0)}  = {\left. {\frac{{dx\overrightarrow {{x_{0,1}}} }}{{dt}}} \right|_0} = \dot x\overrightarrow {{x_{0,1}}} \Rightarrow \overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{1}}}/0)}  = {\left. {\frac{{d\overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{1}}}/0)} }}{{dt}}} \right|_0} = \ddot x\overrightarrow {{x_{0,1}}}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {{D_{1/0}}}  = M\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{1}}}/0)}  = M\,\ddot x\;\overrightarrow {{x_{0,1}}}\)

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)}  = \overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{2}}},2/0)} \\  = \overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{1}}},2/0)}  + \overrightarrow {{{\rm{G}}_{\rm{2}}}{{\rm{G}}_{\rm{1}}}}  \wedge \overrightarrow {{\Omega _{2/0}}} \\  = \dot x\overrightarrow {{x_{0,1}}}  +  - L\overrightarrow {{z_2}}  \wedge \dot \theta \overrightarrow y \\  = \dot x\overrightarrow {{x_{0,1}}}  + L\dot \theta \overrightarrow {{x_2}} \end{array}\) ou \(\begin{array}{c} \overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)}  = {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{\rm{O}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}} }}{{dt}}} \right|_0} = {\left. {\frac{{dx\overrightarrow {{x_{0,1}}}  + L\,\overrightarrow {{z_2}} }}{{dt}}} \right|_0}\\  = \dot x\overrightarrow {{x_{0,1}}}  + \overrightarrow 0  + \dot \theta \overrightarrow y  \wedge L\overrightarrow {{z_2}} \\  = \dot x\overrightarrow {{x_{0,1}}}  + L\dot \theta \overrightarrow {{x_2}} \end{array}\)

\(\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)}  = {\left. {\frac{{d\overrightarrow {V({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)} }}{{dt}}} \right|_0} = \ddot x\overrightarrow {{x_{0,1}}}  + L\ddot \theta \overrightarrow {{x_2}}  - L{\dot \theta ^2}\overrightarrow {{z_2}}\)

\(\overrightarrow {{D_{2/0}}}  = m\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}}/0)}  = m\ddot x\overrightarrow {{x_{0,1}}}  + mL\ddot \theta \overrightarrow {{x_2}}  - mL{\dot \theta ^2}\overrightarrow {{z_2}}\)

Bilan des actions mécaniques extérieures s’exerçant sur {1+2} :

• action du ressort \(\overrightarrow {{F_{ressort0 \to 1}}}  =  - k\,x\,\overrightarrow {{x_{0,1}}}\)

• action du poids \(\overrightarrow {{F_{pes \to 1}}} .\overrightarrow {{x_{0,1}}}  + \overrightarrow {{F_{pes \to 2}}} .\overrightarrow {{x_{0,1}}}  = 0\)

Donc le théorème de la résultante dynamique appliqué à 1+2 sur \(\overrightarrow {{x_0}}\) donne la relation suivante :

\(\begin{array}{c} \sum {\overrightarrow {{F_{ext \to \left\{ {1 + 2} \right\}}}} } .\overrightarrow {{x_{0,1}}}  = \overrightarrow {{D_{\left\{ {1 + 2} \right\}/0}}} .\overrightarrow {{x_{0,1}}} \\  - kx = \left( {M + m} \right)\ddot x + mL\ddot \theta \cos \theta  - mL{{\dot \theta }^2}\sin \theta \end{array}\)

Sur \(\overrightarrow y\) en \({{\rm{G}}_{\rm{1}}}.\)

Calcul du moment dynamique de 2 :

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\delta ({{\rm{G}}_1},2/0)}  = \overrightarrow {\delta ({{\rm{G}}_{\rm{2}}},2/0)}  + \overrightarrow {{{\rm{G}}_{\rm{1}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}}  \wedge m\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}},2/0)} \\  = {\left. {\frac{{d\overrightarrow {\sigma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}},2/0)} }}{{dt}}} \right|_0} + \overrightarrow {{{\rm{G}}_{\rm{1}}}{{\rm{G}}_{\rm{2}}}}  \wedge m\overrightarrow {\Gamma ({{\rm{G}}_{\rm{2}}},2/0)} \\  = {I_2}\ddot \theta \overrightarrow y  + L\overrightarrow {{z_2}}  \wedge m{\left( \begin{array}{l} \ddot x\cos \theta  + L\ddot \theta \\ 0\\ \ddot x\sin \theta  - L{{\dot \theta }^2} \end{array} \right)_2}\\  = {I_2}\ddot \theta \overrightarrow y  + Lm\left( {\ddot x\cos \theta  + L\ddot \theta } \right)\overrightarrow y \\  = \left[ {\left( {{I_2} + m{L^2}} \right)\ddot \theta  + Lm\cos \theta \,\ddot x} \right]\overrightarrow y \end{array}\)

Bilan des actions mécaniques extérieures s’exerçant sur {1+2} :

• action du poids \(\overrightarrow {{M_{pes \to 2}}({{\rm{G}}_1})}  = \overrightarrow {{{\rm{G}}_1}{{\rm{G}}_2}}  \wedge mg\overrightarrow {{z_0}}  = {\left( \begin{array}{l} L\sin \theta \\ 0\\ L\cos \theta \end{array} \right)_0} \wedge {\left( \begin{array}{l} 0\\ 0\\ mg \end{array} \right)_0} =  - mgL\sin \theta \overrightarrow y\)

• action de 1 sur 2 par la liaison pivot \(\overrightarrow {{M_{1 \to 2}}({{\rm{G}}_1})} .\overrightarrow y  = 0\)

Donc le théorème du moment dynamique appliqué à 2 sur \(\overrightarrow y\) en \({{\rm{G}}_{\rm{1}}}\) donne la relation suivante :

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\delta ({{\rm{G}}_1},2/0)} .\overrightarrow y  = \sum {\overrightarrow {{M_{ext \to 2}}({{\rm{G}}_1})} } .\overrightarrow y \\ \left( {{I_2} + m{L^2}} \right)\ddot \theta  + Lm\cos \theta \,\ddot x =  - mgL\sin \theta \end{array}\)

Linéarisation des équations autour de la position d’équilibre \(\left( {{x_e};{\theta _e}} \right) = \left( {0;0} \right)\)

Les paramètres cinématiques sont considérés comme la somme de la position d’équilibre et d’un petit mouvement (\(\bar x\) et \(\bar \theta\)) autour de la position d’équilibre, les vitesses et accélérations sont elles aussi petites :

\(x = {x_e} + \bar x = \bar x \Rightarrow \dot x = \dot{ \bar x} \Rightarrow \ddot x = \ddot{ \bar x}\)

\(\theta  = {\theta _e} + \bar \theta  = \bar \theta \Rightarrow \dot \theta  = \dot{ \bar \theta} \Rightarrow \ddot \theta  = \ddot{ \bar \theta}\)

Pour linéariser, on fait un développement limité à l’ordre 1 des fonctions (\(\cos \bar \theta \, \approx 1\) et \(\sin \bar \theta \, \approx \bar \theta\)) et les termes du second ordre (exemple : produit de 2 termes « petits ») sont négligés. Ceci se traduit ici par :

\(\left( {M + m} \right)\bar{ \ddot x} + Lm\bar{ \ddot \theta}  + k\bar x = 0\)

\(mL\bar{ \ddot x} + \left( {m{L^2} + {I_2}} \right)\bar{ \ddot \theta}  + mgL\bar \theta  = 0\)

On peut également l’écrire sous la forme matricielle suivante :

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {M + m}&{mL}\\ {mL}&{m{L^2} + {I_2}} \end{array}} \right]\left( \begin{array}{l} {\ddot{ \bar x}}\\ {\ddot{ \bar \theta} } \end{array} \right) + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} k&0\\ 0&{mgL} \end{array}} \right]\left( \begin{array}{l} {\bar x}\\ {\bar \theta } \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} 0\\ 0 \end{array} \right)\)

En introduisant les relations \(\frac{k}{{M + m}} = \frac{g}{l}\), \(M = 3\;m\) et \({I_2} <  < m{\ell ^2}\) :

\(\left\{ \begin{array}{l} \bar {\ddot x} + \frac{\ell }{4}\bar {\ddot \theta}  + \frac{g}{\ell }\bar x = 0\\ \bar {\ddot x} + \ell \bar {\ddot \theta}  + g\bar \theta  = 0 \end{array} \right.\)