Moment dynamique

Le moment dynamique \(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},{\rm{P}}/g)}\) d’un point matériel \({\rm{P}}\) de masse \(dm,\) dans son mouvement par rapport au repère \({R_g},\) est le moment de la quantité d’accélération au point \({\rm{A}}\) considéré :

\(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},{\rm{P}}/g)}  = \overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm\)

 

Le moment dynamique \(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}\) d’un solide \(S,\) dans son mouvement par rapport au repère \({R_g},\) en un point \({\rm{A}},\) lié au solide, est :

\(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm}\)

 

On peut aussi exprimer le moment dynamique en fonction du moment cinétique :

\(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)} } \right)_g} + \overrightarrow {V({\rm{A}}/g)}  \wedge m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)}\)

En dérivant le moment cinétique, on a en effet :

\(\begin{array}{l} \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)} } \right)_g} = \frac{d}{{dt}}{\left( {\int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} } \right)_g}\\  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \frac{d}{{dt}}{{\left( {\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} } \right)}_g}\;dm}  + \int_S {\frac{d}{{dt}}{{\left( {\overrightarrow {{\rm{AP}}} } \right)}_g} \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} \quad \quad \mathrm{car}\;(uv)' = u'v + uv'\\  = \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  + \int_S {\frac{d}{{dt}}{{\left( {\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{g}}}{\rm{P}}}  - \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{g}}}{\rm{A}}} } \right)}_g} \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} \\  = \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  + \int_S {\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm}  - \overrightarrow {V({\rm{A}}/g)}  \wedge m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} \\  = \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  - \overrightarrow {V({\rm{A}}/g)}  \wedge m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} \end{array}\)

Remarque

  • Si le point \({\rm{A}}\) est fixe dans le repère \({R_g},\) \(\overrightarrow {V({\rm{A}}/g)}  = \overrightarrow 0,\) alors \(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overline{\overline {{I_{{\rm{A}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} } \right)_g}\)

  • Si le point \({\rm{A}}\) est le centre d’inertie \({\rm{G}}\) alors \(\overrightarrow {\delta ({\rm{G}},S/g)}  = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} } \right)_g}\)

    Ce champ de vecteurs obéit à la relation fondamentale des champs de moments :

    \( \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  = \overrightarrow {\delta ({\rm{B}},S/g)}  + \overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge \overrightarrow {D(S/g)}\)

    En effet,

    \(\begin{array}{l} \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm} \\  = \int_S {(\overrightarrow {{\rm{AB}}}  + \overrightarrow {{\rm{BP}}} ) \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm} \\  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm}  + \int_S {\overrightarrow {{\rm{BP}}}  \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm} \\  = \overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge m\;\overrightarrow {\Gamma ({\rm{G}}/g)}  + \overrightarrow {\delta ({\rm{B}},{\rm{S}}/g)} \\  = \overrightarrow {\delta ({\rm{B}},S/g)}  + \overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge \overrightarrow {D(S/g)} \end{array}\)