Moment dynamique
Le moment dynamique \(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},{\rm{P}}/g)}\) d’un point matériel \({\rm{P}}\) de masse \(dm,\) dans son mouvement par rapport au repère \({R_g},\) est le moment de la quantité d’accélération au point \({\rm{A}}\) considéré :
\(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},{\rm{P}}/g)} = \overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm\)
Le moment dynamique \(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)}\) d’un solide \(S,\) dans son mouvement par rapport au repère \({R_g},\) en un point \({\rm{A}},\) lié au solide, est :
\(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm}\)
On peut aussi exprimer le moment dynamique en fonction du moment cinétique :
\(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)} } \right)_g} + \overrightarrow {V({\rm{A}}/g)} \wedge m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)}\)
En dérivant le moment cinétique, on a en effet :
\(\begin{array}{l} \frac{d}{{dt}}{\left( {\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)} } \right)_g} = \frac{d}{{dt}}{\left( {\int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} } \right)_g}\\ = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \frac{d}{{dt}}{{\left( {\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} } \right)}_g}\;dm} + \int_S {\frac{d}{{dt}}{{\left( {\overrightarrow {{\rm{AP}}} } \right)}_g} \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} \quad \quad \mathrm{car}\;(uv)' = u'v + uv'\\ = \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} + \int_S {\frac{d}{{dt}}{{\left( {\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{g}}}{\rm{P}}} - \overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{g}}}{\rm{A}}} } \right)}_g} \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} \\ = \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} + \int_S {\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} - \overrightarrow {V({\rm{A}}/g)} \wedge m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} \\ = \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} - \overrightarrow {V({\rm{A}}/g)} \wedge m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} \end{array}\)
Remarque :
Si le point \({\rm{A}}\) est fixe dans le repère \({R_g},\) \(\overrightarrow {V({\rm{A}}/g)} = \overrightarrow 0,\) alors \(\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overline{\overline {{I_{{\rm{A}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} } \right)_g}\)
Si le point \({\rm{A}}\) est le centre d’inertie \({\rm{G}}\) alors \(\overrightarrow {\delta ({\rm{G}},S/g)} = \frac{d}{{dt}}{\left( {\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} } \right)_g}\)
Ce champ de vecteurs obéit à la relation fondamentale des champs de moments :
\( \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} = \overrightarrow {\delta ({\rm{B}},S/g)} + \overrightarrow {{\rm{AB}}} \wedge \overrightarrow {D(S/g)}\)
En effet,
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm} \\ = \int_S {(\overrightarrow {{\rm{AB}}} + \overrightarrow {{\rm{BP}}} ) \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm} \\ = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AB}}} \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm} + \int_S {\overrightarrow {{\rm{BP}}} \wedge \overrightarrow {\Gamma ({\rm{P}}/g)} \;dm} \\ = \overrightarrow {{\rm{AB}}} \wedge m\;\overrightarrow {\Gamma ({\rm{G}}/g)} + \overrightarrow {\delta ({\rm{B}},{\rm{S}}/g)} \\ = \overrightarrow {\delta ({\rm{B}},S/g)} + \overrightarrow {{\rm{AB}}} \wedge \overrightarrow {D(S/g)} \end{array}\)