Centre de masse ou d'inertie d'un solide

Le centre de masse \({\rm{G}}\) d’un solide est le barycentre des points \({\rm{P}}\) du solide pondéré par leur masse :

\(\mathop \smallint \limits_S \overrightarrow {{\rm{GP}}} \,dm = \vec 0\quad  \Leftrightarrow \quad \int_S {\overrightarrow {{\rm{GO}}}  + \overrightarrow {{\rm{OP}}} \,dm}  = \overrightarrow 0 \quad  \Leftrightarrow \quad {m_S}\overrightarrow {{\rm{OG}}}  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{OP}}} dm} \quad  \Leftrightarrow \quad \overrightarrow {{\rm{OG}}}  = \frac{{\int_S {\overrightarrow {{\rm{OP}}} dm} }}{{{m_S}}}\)

Dans un système de coordonnées cartésiennes où la position des points est \(\overrightarrow {{\rm{OP}}}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right)_R}\) alors les coordonnées du centre de masse \(\overrightarrow {{\rm{OG}}}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_G}}\\ {{y_G}}\\ {{z_G}} \end{array}} \right)_R}\) sont \(\begin{array}{*{20}{c}} {{x_G} = \frac{1}{{{m_S}}}\int_S {x\,dm} }\\ {{y_G} = \frac{1}{{{m_S}}}\int_S {y\,dm} }\\ {{z_G} = \frac{1}{{{m_S}}}\int_S {z\,dm} } \end{array}\)

Remarque

  • Si le solide est homogène et présente un plan de symétrie alors son centre de masse appartient au plan de symétrie.

  • Par conséquent, le centre de masse d’un solide homogène de révolution se situe sur l’axe de révolution.

  • La position du centre d’inertie \({{\rm{G}}_\Sigma }\) d’un ensemble de \(i\) solides \({S_i}\), ayant chacun une masse \({m_i}\) et un centre de masse \({{\rm{G}}_i}\), est donnée par : \(\overrightarrow {{\rm{O}}{{\rm{G}}_\Sigma }}  = \frac{{\mathop \sum \limits_i \left( {{m_i}\overrightarrow {{\rm{O}}{{\rm{G}}_i}} } \right)}}{{\mathop \sum \limits_i {m_i}}}\)

ExemplePosition du centre de masse d’un parallélépipède rectangle

Un parallélépipède rectangle a trois plans de symétrie : son centre de masse se situe donc en son milieu.

\(\overrightarrow {{\rm{OG}}}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {a/2}\\ {b/2}\\ {c/2} \end{array}} \right)_R}\)