Cinématique des systèmes mécaniques

Ce paragraphe présente la dérivation, par rapport au temps et par rapport à une base \({R_i},\) d’un vecteur \(\overrightarrow {{\rm{OP}}}\) exprimé dans une base \({R_j},\) mobile par rapport à \({R_i}\) (c’est-à-dire que l’orientation des vecteurs de la base \({R_j}\) n’est pas constante par rapport à la base \({R_i}\)).

\(\begin{array}{c} {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{\rm{OP}}} }}{{dt}}} \right|_i} = {\left. {\frac{{d\left( {{x_j}\overrightarrow {{x_j}}  + {y_j}\overrightarrow {{y_j}}  + {z_j}\overrightarrow {{z_j}} } \right)}}{{dt}}} \right|_i}\\  = \frac{{d{x_j}}}{{dt}}\overrightarrow {{x_j}}  + {x_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} + \frac{{d{y_j}}}{{dt}}\overrightarrow {{y_j}}  + {y_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i} + \frac{{d{z_j}}}{{dt}}\overrightarrow {{z_j}}  + {z_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{z_j}} }}{{dt}}} \right|_i}\\  = {{\dot x}_j}\overrightarrow {{x_j}}  + {x_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} + {{\dot y}_j}\overrightarrow {{y_j}}  + {y_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i} + {{\dot z}_j}\overrightarrow {{z_j}}  + {z_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{z_j}} }}{{dt}}} \right|_i}\\ = {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{\rm{OP}}} }}{{dt}}} \right|_j} + {x_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} + {y_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i} + {z_j}{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{zj}} }}{{dt}}} \right|_i} \end{array}\)

Il faut maintenant exprimer les dérivées des vecteurs unitaires de la base \({R_j}\) : \({\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i}$, ${\left. {\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i}$ et ${\left. {\frac{{d\overrightarrow {{z_j}} }}{{dt}}} \right|_i}\)

Nous allons pour cela exploiter le fait que la base \({R_j}\) soit orthonormée.

Les vecteurs \(\overrightarrow {{x_j}},\) \(\overrightarrow {{y_j}}\) et \(\overrightarrow {{z_j}}\) sont unitaires, ce qui signifie leur carré est égal à 1. Donc la dérivée de leur carré est nulle.

\({\overrightarrow {{x_j}} ^2} = \overrightarrow {{x_j}} .\,\overrightarrow {{x_j}}  = 1\quad  \Rightarrow \quad \frac{{d{{\overrightarrow {{x_j}} }^2}}}{{dt}} = 2\;{\left. {\overrightarrow {{x_j}} .\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = \frac{{d\;1}}{{dt}} = 0\)

On considère le cas où la dérivée du vecteur est non nulle, ce qui signifie que la dérivée du vecteur soit perpendiculaire au vecteur pour le produit scalaire soit nul.

\(\;2\;{\left. {\overrightarrow {{x_j}} .\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = 0\quad  \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} \bot \overrightarrow {{x_j}} \;$ car $\;{\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} \ne \overrightarrow 0\)

La dérivée du vecteur n’aura donc pas de composante suivant la direction du vecteur, on peut ainsi écrire :

\({\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = 0\,\overrightarrow {{x_j}}  + {a_{12}}\overrightarrow {{y_j}}  + {a_{13}}\overrightarrow {{z_j}}\)

De même, \({\left. {\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = {a_{21}}\overrightarrow {{x_j}}  + 0\,\overrightarrow {{y_j}}  + {a_{23}}\overrightarrow {{z_j}}\)

Et \({\left. {\frac{{d\overrightarrow {{z_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = {a_{31}}\overrightarrow {{x_j}}  + {a_{32}}\overrightarrow {{y_j}}  + 0\,\overrightarrow {{z_j}}\)

Les vecteurs \(\overrightarrow {{x_j}},\) \(\overrightarrow {{y_j}}\) et \(\overrightarrow {{z_j}}\) sont orthogonaux deux à deux, leur produit scalaire est donc nul et la dérivée de ce produit aussi.

\(\overrightarrow {{x_j}} .\,\overrightarrow {{y_j}}  = 0\quad  \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\left( {\overrightarrow {{x_j}} .\overrightarrow {{y_j}} } \right)}}{{dt}} = \frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i}.\overrightarrow {{y_j}}  + {\left. {\overrightarrow {{x_j}} .\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = 0\)

En introduisant les relations précédentes, on obtient des relations qui lient entre elles les composantes des dérivées :

\(\left( {0\,\overrightarrow {{x_j}}  + {a_{12}}\overrightarrow {{y_j}}  + {a_{13}}\overrightarrow {{z_j}} } \right).\overrightarrow {{y_j}}  + \overrightarrow {{x_j}} .\left( {{a_{21}}\overrightarrow {{x_j}}  + 0\,\overrightarrow {{y_j}}  + {a_{23}}\overrightarrow {{z_j}} } \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad {a_{12}} + {a_{21}} = 0\quad  \Rightarrow \quad {a_{12}} =  - {a_{21}}\)

Les deux autres relations d’orthogonalité donnent les relations :

\(\overrightarrow {{y_j}} .\;\overrightarrow {{z_j}}  = 0\quad  \Rightarrow \quad {a_{23}} + {a_{32}} = 0\quad  \Rightarrow \quad {a_{23}} =  - {a_{32}}\)

\(\overrightarrow {{z_j}} .\;\overrightarrow {{x_j}}  = 0\quad  \Rightarrow \quad {a_{31}} + {a_{13}} = 0\quad  \Rightarrow \quad {a_{31}} =  - {a_{13}}\)

On peut donc exprimer les dérivées de ces vecteurs avec seulement trois valeurs et écrire qu’elles sont au produit d’une matrice, constituée de ces valeurs, par le vecteur :

\(\begin{array}{l} {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = {\left( \begin{array}{c} 0\\ {a_{12}}\\ {a_{13}} \end{array} \right)_j} = {\left( \begin{array}{r} 0\\ {a_{12}}\\  - {a_{31}} \end{array} \right)_j} = \left[ \Omega  \right]\overrightarrow {{x_j}} \\ {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = {\left( \begin{array}{c} {a_{21}}\\ 0\\ {a_{23}} \end{array} \right)_j} = {\left( \begin{array}{r}  - {a_{12}}\\ 0\\ {a_{23}} \end{array} \right)_j} = \left[ \Omega  \right]\overrightarrow {{y_j}} \\ {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{z_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = {\left( \begin{array}{c} {a_{31}}\\ {a_{32}}\\ 0 \end{array} \right)_j} = {\left( \begin{array}{r} {a_{31}}\\  - {a_{23}}\\ 0 \end{array} \right)_j} = \left[ \Omega  \right]\overrightarrow {{z_j}} \end{array}\)

avec \(\left[ \Omega  \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {a_{12}}}&{{a_{31}}}\\ {{a_{12}}}&0&{ - {a_{23}}}\\ { - {a_{31}}}&{{a_{23}}}&0 \end{array}} \right]_j}\)

La matrice étant antisymétrique, le produit matriciel peut être remplacé par un produit vectoriel :

\({\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {a_{12}}}&{{a_{31}}}\\ {{a_{12}}}&0&{ - {a_{23}}}\\ { - {a_{31}}}&{{a_{23}}}&0 \end{array}} \right]_j}\;{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_j}}\\ {{y_j}}\\ {{z_j}} \end{array}} \right)_j} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{31}}{z_j} - {a_{12}}{y_j}}\\ {{a_{12}}{x_j} - {a_{23}}{z_j}}\\ {{a_{23}}{y_j} - {a_{31}}{x_j}} \end{array}} \right)_j}\, = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}\\ {{a_{12}}} \end{array}} \right)_j} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_j}}\\ {{y_j}}\\ {{z_j}} \end{array}} \right)_j} = \overrightarrow {{\Omega _{j/i}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{OP}}}\)

Finalement, on a la formule de dérivation vectorielle suivante :

\({\left. {\frac{{d\overrightarrow {{\rm{OP}}} }}{{dt}}} \right|_i} = {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{\rm{OP}}} }}{{dt}}} \right|_j} + \overrightarrow {{\Omega _{j/i}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{OP}}}\)

Nous allons maintenant voir que le vecteur \(\overrightarrow {{\Omega _{j/i}}}\) est ce que l’on appelle le vecteur de vitesse de rotation instantanée du repère \({R_j}\) par rapport à \({R_i}.\)

Si le repère \({R_j}\) tourne par rapport au repère \({R_i}\) autour de l’axe \(\overrightarrow {{z_{i,j}}}\) dont la rotation est paramétrée par un angle \(\alpha\).

\(\overrightarrow {{x_j}}  = \cos \alpha \,\overrightarrow {{x_i}}  + \sin \alpha \,\overrightarrow {{y_i}} \quad  \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = \frac{{d\cos \alpha }}{{dt}}\,\overrightarrow {{x_i}}  + \frac{{d\sin \alpha }}{{dt}}\,\overrightarrow {{y_i}}  = \quad  - \dot \alpha \sin \alpha \,\overrightarrow {{x_i}}  + \dot \alpha \cos \alpha \,\overrightarrow {{y_i}}  = \dot \alpha \overrightarrow {{y_j}}\)

\(\overrightarrow {{y_j}}  =  - \sin \alpha \,\overrightarrow {{x_i}}  + \cos \alpha \,\overrightarrow {{y_i}} \quad  \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{y_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = \frac{{d - \sin \alpha }}{{dt}}\,\overrightarrow {{x_i}}  + \frac{{d\cos \alpha }}{{dt}}\,\overrightarrow {{y_i}}  = \quad  - \dot \alpha \cos \alpha \,\overrightarrow {{x_i}}  - \dot \alpha \sin \alpha \,\overrightarrow {{y_i}}  =  - \dot \alpha \overrightarrow {{x_j}}\)

\({\left. {\frac{{d\overrightarrow {{x_j}} }}{{dt}}} \right|_i} = \overrightarrow {{\Omega _{j/i}}}  \wedge \overrightarrow {{x_j}}  = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}\\ {{a_{12}}} \end{array}} \right)_j} \wedge {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)_j} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{a_{12}}}\\ { - {a_{31}}} \end{array}} \right)_j} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\dot \alpha }\\ 0 \end{array}} \right)_j}\quad  \Rightarrow \quad {a_{12}} = \dot \alpha \quad  \Rightarrow \quad \overrightarrow {{\Omega _{j/i}}}  = \dot \alpha \overrightarrow {{z_{i,j}}}\)