Vitesse instantanée d’un point
La vitesse instantanée d’un point \({\rm{P}}\) par rapport à un référentiel \({R_i}\) est définie comme la limite de la variation de sa position \(\Delta \overrightarrow {{{\rm{O}}_i}{\rm{P}}},\) entre deux instants séparés d’une durée \(\Delta t,\) divisée par cette durée \(\Delta t\) quand la durée \(\Delta t\) tend vers zéro :
\(\overrightarrow {V({\rm{P}}/i)} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta \overrightarrow {{{\rm{O}}_i}{\rm{P}}} }}{{\Delta t}} = {\left( {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {{{\rm{O}}_i}{\rm{P}}} } \right)_{{R_i}}}\)
Remarque :
Le point \({\rm{P}}\) doit être clairement défini pour exprimer sans erreur sans position.
La vitesse de \({\rm{P}}\) est indépendante du point \({{\rm{O}}_i},\) ce point doit juste être fixe dans le repère \({R_i}.\)
Le vecteur vitesse de \({\rm{P}}\) est tangent à la trajectoire de \({\rm{P}}\) dans son mouvement par rapport à \({R_i}.\)
Expression en coordonnées cartésiennes
Si \(\overrightarrow {{{\rm{O}}_i}{\rm{P}}} = {x_{\rm{P}}}\overrightarrow {{x_i}} + {y_{\rm{P}}}\overrightarrow {{y_i}} + {z_{\rm{P}}}\overrightarrow {{z_i}}\)
Alors \(\overrightarrow {V({\rm{P}}/i)} = {\left( {\frac{d}{{dt}}\overrightarrow {{{\rm{O}}_i}{\rm{P}}} } \right)_{{R_i}}} = \frac{d}{{dt}}{x_{\rm{P}}}\overrightarrow {{x_i}} + \frac{d}{{dt}}{y_{\rm{P}}}\overrightarrow {{y_i}} + \frac{d}{{dt}}{z_{\rm{P}}}\overrightarrow {{z_i}} = {\dot x_{\rm{P}}}\overrightarrow {{x_i}} + {\dot y_{\rm{P}}}\overrightarrow {{y_i}} + {\dot z_{\rm{P}}}\overrightarrow {{z_i}}\)