Moment cinétique

Le moment cinétique \(\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},{\rm{P}}/g)}\) d’un point matériel \({\rm{P}}\) de masse \(dm,\) dans son mouvement par rapport au repère \({R_g},\) est le moment de la quantité de mouvement au point \({\rm{A}}\) considéré :

\(\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},{\rm{P}}/g)} = \overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \overrightarrow {p({\rm{P}}/g)} = \overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm\)

Pour le solide \(S\), le moment cinétique \(\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)}\) en un point \({\rm{A}}\) du solide est :

\(\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},{\rm{S}}/g)}  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm}\)

En développant cette expression avec le champ des vitesses, on obtient :

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)}  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \left( {\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{AP}}} } \right)\;dm} \\  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)} \;dm}  + \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \left( {\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{AP}}} } \right)\;dm} \end{array}\)

En utilisant la propriété du centre de masse \(\int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}} dm}  = m\overrightarrow {{\rm{AG}}}\) et en introduisant la notion de tenseur d’inertie \(\int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \left( {\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{AP}}} } \right)\;dm}  = \overline{\overline {{I_{{\rm{A}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\), on obtient l’expression suivante :

\(\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)}  = m\overrightarrow {{\rm{AG}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \overline{\overline {{I_{{\rm{A}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)

Remarque

  • Si le point \({\rm{A}}\) est fixe dans le mouvement \(S/{R_g},\) \(\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  = \overrightarrow 0\), alors :

\(\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},{\rm{S}}/g)}  = \overline{\overline {{I_{{\rm{A}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)

  • Si le point \({\rm{A}}\) est le centre d’inertie \({\rm{G}}\) alors :

\(\overrightarrow {\sigma ({\rm{G}},S/g)}  = \overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)

Suite à ces remarques, on calcule en général le moment cinétique au centre de masse ou en un point fixe dans le mouvement puis on utilise la relation de champs de moment pour l’obtenir en un autre point.

Le moment cinétique obéit à la relation fondamentale des champs de moments :

\(\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)}  = \overrightarrow {\sigma ({\rm{B}},S/g)}  + \overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge \overrightarrow {p(S/g)}\)

En effet,

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)}  = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} \\ = \int_S {(\overrightarrow {{\rm{AB}}}  + \overrightarrow {{\rm{BP}}} ) \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} \\ = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm}  + \int_S {\overrightarrow {{\rm{BP}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} \;dm} \\ = \overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge m\;\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)}  + \overrightarrow {\sigma ({\rm{B}},S/g)} \\ = \overrightarrow {\sigma ({\rm{B}},S/g)}  + \overrightarrow {{\rm{AB}}}  \wedge \overrightarrow {p(S/g)} \end{array}\)