Cinématique des systèmes mécaniques

On effectue « un changement de base » pour exprimer une matrice ou un vecteur exprimé dans une base, par exemple j, dans une nouvelle base par exemple i.

Dans un cas général à 3 dimensions, un vecteur qui n’a qu’une composante dans la base j aura 3 composantes dans la base i. Ces trois composantes sont les projections du vecteur sur les 3 axes de la base orthonormée directe (la projection du vecteur sur une direction se traduit mathématiquement par un produit scalaire du vecteur avec le vecteur unitaire directeur de la direction).

\(\overrightarrow {{x_j}}  = \left( {\overrightarrow {{x_j}} .\overrightarrow {{x_i}} } \right)\,\overrightarrow {{x_i}}  + \left( {\overrightarrow {{x_j}} .\overrightarrow {{y_i}} } \right)\,\overrightarrow {{y_i}}  + \left( {\overrightarrow {{x_j}} .\overrightarrow {{z_i}} } \right)\,\overrightarrow {{z_i}}  = {a_{11}}\,\overrightarrow {{x_i}}  + {a_{12}}\,\overrightarrow {{y_i}}  + {a_{13}}\,\overrightarrow {{z_i}}\)

\(\overrightarrow {{y_j}}  = \left( {\overrightarrow {{y_j}} .\overrightarrow {{x_i}} } \right)\,\overrightarrow {{x_i}}  + \left( {\overrightarrow {{y_j}} .\overrightarrow {{y_i}} } \right)\,\overrightarrow {{y_i}}  + \left( {\overrightarrow {{y_j}} .\overrightarrow {{z_i}} } \right)\,\overrightarrow {{z_i}}  = {a_{21}}\,\overrightarrow {{x_i}}  + {a_{22}}\,\overrightarrow {{y_i}}  + {a_{23}}\,\overrightarrow {{z_i}}\)

\(\overrightarrow {{z_j}}  = \left( {\overrightarrow {{z_j}} .\overrightarrow {{x_i}} } \right)\,\overrightarrow {{x_i}}  + \left( {\overrightarrow {{z_j}} .\overrightarrow {{y_i}} } \right)\,\overrightarrow {{y_i}}  + \left( {\overrightarrow {{z_j}} .\overrightarrow {{z_i}} } \right)\,\overrightarrow {{z_i}}  = {a_{31}}\,\overrightarrow {{x_i}}  + {a_{32}}\,\overrightarrow {{y_i}}  + {a_{33}}\,\overrightarrow {{z_i}}\)

La matrice de passage (ou matrice de changement de base) de la base orthonormée directe j vers la base orthonormée directe i est composée colonne par colonne des composantes des trois vecteurs unitaires de la bases j exprimés dans la base i.

Matrice de passage de j vers i : \(P_j^i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{21}}}&{{a_{31}}}\\{{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{{a_{32}}}\\{{a_{13}}}&{{a_{23}}}&{{a_{33}}}\end{array}} \right]\)

Exemple de passage du vecteur \(\overrightarrow {{x_j}}\) dans la base i : \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&{{a_{21}}}&{{a_{31}}}\\{{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{{a_{32}}}\\{{a_{13}}}&{{a_{23}}}&{{a_{33}}}\end{array}} \right]{\left( \begin{array}{l}1\\0\\0\end{array} \right)_{{R_j}}} = {\left( \begin{array}{l}{a_{11}}\\{a_{12}}\\{a_{13}}\end{array} \right)_{{R_i}}}\)

La base \({R_j}\) est orthonormée directe, les vecteurs qui la composent sont donc :

 unitaires : \(\begin{array}{l}{\overrightarrow {{x_j}} ^2} = 1\quad  \Rightarrow \quad a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = 1\\{\overrightarrow {{y_j}} ^2} = 1\quad  \Rightarrow \quad a_{21}^2 + a_{22}^2 + a_{23}^2 = 1\\{\overrightarrow {{z_j}} ^2} = 1\quad  \Rightarrow \quad a_{31}^2 + a_{32}^2 + a_{33}^2 = 1\end{array}\)

 et orthogonaux deux à deux : \(\begin{array}{l}\overrightarrow {{x_j}} .\overrightarrow {{y_j}}  = 0\quad  \Rightarrow \quad a_{11}^{}a_{21}^{} + a_{12}^{}a_{22}^{} + a_{13}^{}a_{23}^{} = 0\\\overrightarrow {{y_j}} .\overrightarrow {{z_j}}  = 0\quad  \Rightarrow \quad a_{21}^{}a_{31}^{} + a_{22}^{}a_{32}^{} + a_{23}^{}a_{33}^{} = 0\\\overrightarrow {{z_j}} .\overrightarrow {{x_j}}  = 0\quad  \Rightarrow \quad a_{31}^{}a_{11}^{} + a_{32}^{}a_{12}^{} + a_{33}^{}a_{13}^{} = 0\end{array}\)

Les coefficients de la matrice de passage sont donc liés par 6 équations. On en déduit que seul trois grandeurs sont nécessaires pour définir l’orientation d’un repère \({R_j}\) par rapport à un autre \({R_i}\).