Cinématique des systèmes mécaniques

Lorsqu’il n’y a pas de glissement, la vitesse de glissement est nulle : \(\overrightarrow {V({\rm{I,}}j/i)}  = \overrightarrow 0\)

Le contact ponctuel de normale \(\overrightarrow {{n_{\rm{I}}}}\) impose \(\overrightarrow {V({\rm{I,}}j/i)} .\overrightarrow {{n_{\rm{I}}}}  = 0\) (dérivée par rapport au temps de l’équation de liaison).

Le fait qu’il n’y a pas de glissement impose que la composante tangentielle (dans le plan perpendiculaire à la normale) de la vitesse est nulle : \(\overrightarrow {V({\rm{I,}}j/i)}  - \left( {\overrightarrow {V({\rm{I,}}j/i)} .\overrightarrow {{n_{\rm{I}}}} } \right)\overrightarrow {{n_{\rm{I}}}}  = \overrightarrow 0.\)

Soit une roue (1) de rayon \(r\) en appui ponctuel sur un plan (0). Soit \({{\rm{I}}_{10}}\) le point géométrique de contact. A l’instant \({t_i}\) ce point \({{\rm{I}}_{10}}\) est coïncident avec le point matériel \({{\rm{A}}_0}\) du plan et le point matériel \({{\rm{A}}_1}\) de la roue. A l’instant \({t_f}\) ce point \({{\rm{I}}_{10}}\) est coïncident avec le point matériel \({{\rm{B}}_0}\) du plan et le point matériel \({{\rm{B}}_1}\) de la roue.

Le mouvement est paramétré par une translation \(\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{0}}}{{\rm{O}}_{\rm{1}}}}  = x\overrightarrow {{x_0}}\) et une rotation \(\alpha  = \left( {\overrightarrow {{x_0}} ,\overrightarrow {{x_1}} } \right)\) autour de l’axe \(\overrightarrow {{z_{0,1}}}.\)

La vitesse de glissement est \(\overrightarrow {V({{\rm{I}}_{{\rm{10}}}}{\rm{,}}1/0)}.\) On peut la calculer de 2 façons :

• Soit par dérivation avec la formule de la base mobile

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {V({{\rm{I}}_{{\rm{10}}}}{\rm{,}}1/0)}  = \overrightarrow {V({{\rm{I}}_{{\rm{10}}}}/0)}  - \overrightarrow {V({{\rm{I}}_{{\rm{10}}}}/1)} \\  = {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{0}}}{{\rm{I}}_{10}}} }}{{dt}}} \right|_{{R_0}}} - {\left. {\frac{{d\overrightarrow {{{\rm{O}}_{\rm{1}}}{{\rm{I}}_{10}}} }}{{dt}}} \right|_{{R_1}}}\\  = \dot x\overrightarrow {{x_0}}  - {\left. {\frac{{dr\overrightarrow {{y_{\rm{0}}}} }}{{dt}}} \right|_{{R_0}}} - \dot \alpha \overrightarrow {{z_0}}  \wedge r\overrightarrow {{y_{\rm{0}}}} \\  = \left( {\dot x + r\dot \alpha } \right)\overrightarrow {{x_0}} \end{array}\)

• Soit par le champ des vitesses

\(\begin{array}{c} \overrightarrow {V({{\rm{I}}_{{\rm{10}}}}{\rm{,}}1/0)}  = \overrightarrow {V({{\rm{O}}_{\rm{1}}}{\rm{,}}1/0)}  + \overrightarrow {{{\rm{I}}_{{\rm{10}}}}{{\rm{O}}_{\rm{1}}}}  \wedge \overrightarrow {{\Omega _{1/0}}} \\  = \dot x\overrightarrow {{x_0}}  + - r\overrightarrow {{y_{\rm{0}}}}  \wedge \dot \alpha \overrightarrow {{z_0}} \\  = \left( {\dot x + r\dot \alpha } \right)\overrightarrow {{x_0}} \end{array}\)

La condition de roulement sans glissement est \(\overrightarrow {V({{\rm{I}}_{{\rm{10}}}}{\rm{,}}1/0)} .\overrightarrow {{x_0}}  = 0\) donc \(\dot x + r\dot \alpha  = 0 \Rightarrow \dot x =  - r\dot \alpha.\)