Appliquer le PFD
Méthode : 1. Bilan des inconnues
On isole un solide ou un ensemble de solides. On fait le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures (BAME) qui s’exercent sur cet isolement (actions de liaison, pesanteur, pression, …). Chaque action mécanique peut introduire jusqu’à 6 inconnues pour les systèmes spatiaux (voir forme des torseurs d’action des liaisons normalisées) et jusqu’à 3 inconnues pour les modèles plans.
Méthode : 2. Bilan des équations
Pour un solide, le Principe Fondamentale de la Dynamique (PFD) permet d’écrire 6 équations (3 pour les modèles plans). Le nombre d’équations à disposition est donc égal au nombre de solides multiplié par 6 pour les modèles tridimensionnels (ou par 3 pour les modèle plans).
Remarque :
L’isolement d’un ensemble de solides n’apporte pas d’équations supplémentaires mais peut remplacer l’isolement d’un solide.
Méthode : 3. Résolubilité du problème
Si le nombre d’inconnues est égal au nombre d’équations alors on peut théoriquement déterminer l’ensemble des inconnues.
Remarque :
Si le nombre d’inconnues est supérieur au nombre d’équations, le système est dit hyperstatique. Il faut alors trouver des équations supplémentaires pour résoudre comme des lois de comportement de déformations. Ce cas ne sera pas abordé dans le cadre du cours.
Méthode : 4. Mise en équations pour chaque isolement
On calcule le torseur équivalent à l’ensemble des actions mécaniques extérieures s’exerçant sur le solide ou l’ensemble isolé : la résultante est la somme des résultantes, le moment résultant est la somme des moments de chaque action. Les moments doivent tous être calculés au même point en utilisant la relation de champ de moments.
\({\left\{ {{T_{{\rm{ext}} \to S}}} \right\}_{\rm{P}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} = \sum\limits_{i = 0}^n {\overrightarrow {{R_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}} } }\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} = \sum\limits_{i = 0}^n {\overrightarrow {{M_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} } } \end{array}} \right\}\) et \(\overrightarrow {{M_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} = \overrightarrow {{M_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}({\rm{O}})} + \overrightarrow {{\rm{PO}}} \wedge \overrightarrow {{R_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}}\)
On calcule le torseur dynamique du solide ou de l'ensemble considéré.
Calculer la résultante dynamique d'un solide par rapport à un référentiel galiléen
Calcul du moment dynamique d'un solide par rapport à un référentiel galiléen
Pour un ensemble de solides, on rappelle que pour sommer les torseurs leur moment doivent être exprimer au même point.
Enfin on écrit que le torseur équivalent à l’ensemble des actions mécaniques extérieures est égal au torseur dynamique du solide ou de l'ensemble considéré :
\(\left\{ {{T_{ext \to S}}} \right\} = \left\{ {{D_{S/g}}} \right\} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{ext \to S}}} }\\{\overrightarrow {{M_{ext \to S}}(A)} }\end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {D(S/g)} }\\{\overrightarrow {\delta ({\rm{A}},S/g)} }\end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sum\limits_i {\overrightarrow {{F_{i \to S}}} = \int_S {\overrightarrow {A({\rm{P}}/g)} \;dm} } \\ \sum\limits_i {\overrightarrow {{M_{i \to S}}({\rm{A}})} = \int_S {\overrightarrow {{\rm{AP}}} \wedge \overrightarrow {A({\rm{P}}/g)} \;dm} }\end{array} \right.\)
Si le problème est un plan, par exemple \(({\rm{P}},\overrightarrow x ,\overrightarrow y )\), on ne dispose alors plus que de 3 équations (2 pour la résultante dans le plan et 1 pour le moment autour de l’axe perpendiculaire au plan) :