Statique des systèmes mécaniques

\(\overrightarrow {{R_{e \to b}}}  = \int {\overrightarrow {dF} }  =  - \int_0^H {\rho gzL\,dz} \overrightarrow y  =  - \rho gL\left[ {\frac{{{z^2}}}{2}} \right]_0^H\overrightarrow y  =  - \rho gL\frac{{{H^2}}}{2}\overrightarrow y\)

\(\overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{A}})}  = \int {\overrightarrow {dM({\rm{A}})} }  = \int {\overrightarrow {{\rm{AM}}}  \wedge \overrightarrow {dF} }  = \int {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ z \end{array}} \right) \wedge \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - \rho gzLdz}\\ 0 \end{array}} \right)}  = \rho gL\int_0^H {{z^2}dz} \overrightarrow x  = \rho gL\frac{{{H^3}}}{3}\overrightarrow x\)

Calcul de l’Automoment : \(\overrightarrow {{R_{e \to b}}} .\overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{A}})}  =  - \rho gL\frac{{{H^2}}}{2}\overrightarrow y .\rho gL\frac{{{H^3}}}{3}\overrightarrow x  = 0\)

\(\overrightarrow {{R_{e \to b}}}  \ne \overrightarrow 0 \quad  \Rightarrow \quad\) il existe un point \({\rm{P}}\) où le moment est nul \(\overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{P}})}  = \overrightarrow 0\), c'est-à-dire où l’action peut être représenter par un glisseur.

Le centre de poussée est un point de l’axe central où le moment est minimum et donc égal à 0 dans le cas présent. On va donc déterminer l’axe central du torseur.

\(\overrightarrow {{\rm{A}}{{\rm{P}}^{\rm{*}}}}  = \frac{{\overrightarrow {{R_{e \to b}}}  \wedge \overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{A}})} }}{{{{\overrightarrow {{R_{e \to b}}} }^2}}} = \frac{{ - \rho gL\frac{{{H^2}}}{2}\overrightarrow y  \wedge \rho gL\frac{{{H^3}}}{3}\overrightarrow x }}{{{{\left( { - \rho gL\frac{{{H^2}}}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{\frac{{{H^5}}}{6}\overrightarrow z }}{{\frac{{{H^4}}}{4}}} = \frac{{2}}{3}H\overrightarrow z\)

\(\overrightarrow {{\rm{AP}}}  = \frac{{\overrightarrow {{R_{e \to b}}}  \wedge \overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{A}})} }}{{{{\overrightarrow {{R_{e \to b}}} }^2}}} + \lambda \overrightarrow {{R_{e \to b}}}  = \frac{{^2}}{3}H\overrightarrow z  + k\overrightarrow y\)

On aurait pu aussi déterminer les coordonnées de l’ensemble des points \({\rm{P}}\) dont le moment est nul.

\(\overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{P}})}  = \overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{A}})}  + \overrightarrow {{\rm{PA}}}  \wedge \overrightarrow {{R_{e \to b}}} \int {\overrightarrow {dM({\rm{A}})} }  = \rho gL\frac{{{H^3}}}{3}\overrightarrow x  + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {0 - {y_{\rm{P}}}}\\ {0 - {z_{\rm{P}}}} \end{array}} \right) \wedge \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - \rho gL\frac{{{H^2}}}{2}}\\ 0 \end{array}} \right) = \rho gL\left( {\frac{{{H^3}}}{3} - \frac{{{H^2}}}{2}{z_{\rm{P}}}} \right)\overrightarrow x\)

\(\overrightarrow {{M_{e \to b}}({\rm{P}})}  = \overrightarrow 0 \quad  \Leftrightarrow \quad \frac{{{H^3}}}{3} - \frac{{{H^2}}}{2}{z_{\rm{P}}} = 0\quad  \Rightarrow \quad {z_{\rm{P}}} = \frac{2}{3}H\) : C’est l’équation d’une droite horizontale.