Energie et puissance des systèmes mécaniques

m = n inconnues cinématiques – l équations de liaison

m = 5 – 2 = 3

L’équation de liaison traduisant le contact entre 2 et 0 en I est :    

\(\overrightarrow{\text{OI}}.\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}=0\quad \Rightarrow \quad z=R \quad(1)\)

On considère par la suite que le contact est permanent c’est à dire que \(z=R\) donc \(\dot{z}=\ddot{z}=0\)

L’équation traduisant le roulement sans glissement de 2 par rapport à 0 en I est :

\(\overrightarrow{V\left( \text{I,2/0} \right)}.\overrightarrow{{{y}_{1}}}=0\)

avec

\(\begin{align}  & \overrightarrow{V\left( \text{I,2/0} \right)}=\overrightarrow{V\left( {{\text{O}}_{\text{2}}}\text{,2/0} \right)}+\overrightarrow{\text{I}{{\text{O}}_{\text{2}}}}\wedge \overrightarrow{{{\Omega }_{2/0}}} \\  & =\overrightarrow{V\left( {{\text{O}}_{\text{2}}}\text{,2/1} \right)}+\overrightarrow{V\left( {{\text{O}}_{\text{2}}}\text{,1/0} \right)}+\overrightarrow{\text{I}{{\text{O}}_{\text{2}}}}\wedge \overrightarrow{{{\Omega }_{2/0}}} \\  & =\overrightarrow{V\left( {{\text{O}}_{\text{2}}}\text{,2/1} \right)}+\overrightarrow{V\left( {{\text{O}}_{\text{1}}}\text{,1/0} \right)}+\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{2}}}{{\text{O}}_{\text{1}}}}\wedge \overrightarrow{{{\Omega }_{1/0}}}+\overrightarrow{\text{I}{{\text{O}}_{\text{2}}}}\wedge \left( \overrightarrow{{{\Omega }_{2/1}}}+\overrightarrow{{{\Omega }_{1/0}}} \right) \\  & =\dot{x}\overrightarrow{{{x}_{1,2}}}+\dot{z}\overrightarrow{{{z}_{0,1}}}-\left( d+x \right)\overrightarrow{{{x}_{1,2}}}\wedge \dot{\psi }\overrightarrow{{{z}_{0,1}}}+R\overrightarrow{{{z}_{0,1}}}\wedge \left( \dot{\phi }\overrightarrow{{{x}_{1,2}}}+\dot{\psi }\overrightarrow{{{z}_{0,1}}} \right) \\  & =\dot{x}\overrightarrow{{{x}_{1}}}+\left[ \left( d+x \right)\dot{\psi }+R\dot{\phi } \right]\overrightarrow{{{y}_{1}}}  \end{align}\)

d'où \(\left( d+x \right)\dot{\psi }+R\dot{\phi }=0 \quad(2)\)

\(\overrightarrow{{{F}_{R1\to 2}}}=-k\left( l-{{l}_{0}} \right)\frac{\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{1*}}}{{\text{O}}_{\text{2}}}}}{\left\| \overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{1*}}}{{\text{O}}_{\text{2}}}} \right\|}=-k\left( l-{{l}_{0}} \right)\overrightarrow{{{x}_{1}}}\)

Dans l’énoncé, il est dit que l'action du ressort s’annule avec \(x\) donc \(l-{{l}_{0}}=x.\)

\(\overrightarrow{{{F}_{R1\to 2}}}=-kx\overrightarrow{{{x}_{1}}}={{F}_{R}}\overrightarrow{{{x}_{1}}} \quad (3)\)

\({{X}_{02}}=\overrightarrow{{{F}_{0\to 2}}}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}=D\delta\) avec \(D=cste\) la rigidité de dérive et \(\delta =-\arctan \left( \frac{\overrightarrow{V\left( \text{I}/0 \right)}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}}{\overrightarrow{V\left( \text{I}/0 \right)}.\overrightarrow{{{y}_{1}}}} \right)\) l’angle de dérive

\(\overrightarrow{V\left( \text{I/0} \right)}\) est la vitesse du point géométrique I par rapport au référentiel galiléen \({{R}_{0}}.\)

\(\overrightarrow{V\left( \text{I/0} \right)}={{\left( \frac{d\overrightarrow{\text{OI}}}{dt} \right)}_{{{R}_{0}}}}=\dot{x}\overrightarrow{{{x}_{1}}}+\left( d+x \right){{\left( \frac{d\overrightarrow{{{x}_{1}}}}{dt} \right)}_{{{R}_{0}}}}=\dot{x}\overrightarrow{{{x}_{1}}}+\left( d+x \right)\dot{\psi }\overrightarrow{{{y}_{1}}}\)

Ou on peut aussi remarquer que le point I est fixe par rapport au point \({{\text{O}}_{\text{2}}}\) d’où \(\overrightarrow{V\left( \text{I/0} \right)}=\overrightarrow{V\left( {{\text{O}}_{\text{2}}}\text{/0} \right)}=\overrightarrow{V\left( {{\text{O}}_{\text{2}}}\text{,2/0} \right)}\)

La loi de dérive, suivant \(\overrightarrow{{{x}_{1}}},\) se traduit donc par la relation : \(\overrightarrow{{{F}_{0\to 2}}}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}={{X}_{02}}=-D\arctan \left( \frac{{\dot{x}}}{\left( d+x \right)\dot{\psi }} \right) \quad (4)\)

en \({{\text{O}}_{\text{3}}}\) suivant \(\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}.\)

Les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur la nacelle (3) sont :

• l’action de pesanteur : \(\overrightarrow{{{M}_{pes\to 3}}\left( {{\text{O}}_{3}} \right)}.\overrightarrow{{{z}_{0,1}}}=0\) car la résultante est colinéaire à la direction de projection

• l’action de liaison de 1 sur 3 : \(\overrightarrow{{{M}_{1\to 3}}\left( {{\text{O}}_{3}} \right)}.\overrightarrow{{{z}_{1}}}=0\)

• le couple du moteur : \(\overrightarrow{{{M}_{m'\to 3}}\left( {{\text{O}}_{3}} \right)}.\overrightarrow{{{z}_{1}}}=C_{m}^{'}\)

La nacelle (3) est considérée comme une masse ponctuelle en \({{\text{G}}_{\text{3}}}\) (la matrice d’inertie est donc nulle en ce point), son moment dynamique en \({{\text{G}}_{\text{3}}}\) par rapport au bâti (0) est donc nul : \(\overrightarrow{\delta ({{\text{G}}_{\text{3}}},3/0)}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{\sigma ({{\text{G}}_{\text{3}}},3/0)}=\overrightarrow{0}\) car \(\overrightarrow{\sigma ({{\text{G}}_{\text{3}}},3/0)}=\overline{\overline{{{I}_{{{\text{G}}_{\text{3}}},3}}}}.\overrightarrow{{{\Omega }_{3/0}}}=\left[ 0 \right]\overrightarrow{{{\Omega }_{3/0}}}=\overrightarrow{0}\)

La formule du transport du moment dynamique nous donne :

\(\begin{align}   & \overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{3}}},3/0 \right)}=\overrightarrow{\delta ({{\text{G}}_{\text{3}}},3/0)}+\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{3}}} {{\text{G}}_{\text{3}}}}\wedge {{m}_{3}}\overrightarrow{\Gamma ({{\text{G}}_{\text{3}}},3/0)} \\  & =\overrightarrow{0}+{{\left( \begin{matrix}    l  \\    0  \\    0  \\ \end{matrix} \right)}_{{{R}_{3}}}}\wedge {{m}_{3}}{{\left( \begin{array}{*{35}{l}}    -d{{{\dot{\psi }}}^{2}}\cos \theta +d\ddot{\psi }\sin \theta -l{{\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)}^{2}}  \\    d{{{\dot{\psi }}}^{2}}\sin \theta +d\ddot{\psi }cos\theta +l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right)  \\    0  \\ \end{array} \right)}_{{{R}_{3}}}} \\  & ={{m}_{3}}l\left[ d\left( {{{\dot{\psi }}}^{2}}sin\theta +\ddot{\psi }cos\theta  \right)+l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right) \right]\overrightarrow{{{z}_{3}}}  \end{align}\)

Le théorème du moment dynamique appliqué à la nacelle (3) en \({{\text{O}}_{\text{3}}}\) en projection sur l'axe \(\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}\) se traduit par :        \(C_{m}^{'}={{m}_{3}}l\left[ d\left( {{{\dot{\psi }}}^{2}}sin\theta +\ddot{\psi }cos\theta  \right)+l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right) \right] \quad (5)\)

En \({{\text{O}}_{\text{2}}}\) de la roue (2) suivant \(\overrightarrow{{{x}_{1}}}.\)

Les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur la roue (2) sont :

• l’action de pesanteur : \(\overrightarrow{{{F}_{pes\to 2}}}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}=0\) et \(\overrightarrow{{{M}_{pes\to 2}}\left( {{\text{O}}_{\text{2}}} \right)}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}=0\)

• l’action de liaison de 1 sur 2 : \(\overrightarrow{{{F}_{1\to 2}}}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}=0\) et \(\overrightarrow{{{M}_{1\to 2}}\left( {{\text{O}}_{\text{2}}} \right)}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}=0\)

• l’action du ressort : \(\overrightarrow{{{F}_{\operatorname{Re}ssort\to 2}}}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}={{F}_{R}}\) et \(\overrightarrow{{{M}_{R\to 2}}\left( {{\text{O}}_{\text{2}}} \right)}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}=0\)

• l’action du sol sur le pneumatique : \(\overrightarrow{{{F}_{0\to 2}}}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}={{X}_{02}}\) et \(\overrightarrow{{{M}_{0\to 2}}\left( {{\text{O}}_{\text{2}}} \right)}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}=\left( \overrightarrow{{{M}_{0\to 2}}\left( \text{I} \right)}-R\overrightarrow{{{z}_{01}}}\wedge \overrightarrow{{{F}_{0\to 2}}} \right).\overrightarrow{{{x}_{1}}}=R{{Y}_{02}}\)

La résultante dynamique de la roue (2) par rapport au sol (0) est :

\(\begin{align}   & \overrightarrow{D\left( 2/0 \right)}={{m}_{2}}\overrightarrow{\Gamma \left( {{\text{O}}_{\text{2}}},2/0 \right)} \\  & ={{m}_{2}}{{\left( \frac{{{d}^{2}}} {d{{t}^{2}}}\overrightarrow{\text{O}{{\text{O}}_{\text{2}}}} \right)}_{{{R}_{0}}}} \\  & ={{m}_{2}}{{\left( \frac{{{d}^{2}}}{d{{t}^{2}}}\left( z\overrightarrow{{{z}_{0,1}}}+\left( d+x \right)\overrightarrow{{{x}_{1}}} \right) \right)}_{{{R}_{0}}}} \\  & ={{m}_{2}}\ddot{z}\overrightarrow{{{z}_{0,1}}}+{{m}_{2}}{{\left( \frac{d}{dt}\left( \dot{x}\overrightarrow{{{x}_{1}}}+\left( d+x \right)\dot{\psi }\overrightarrow{{{y}_{1}}} \right) \right)}_{{{R}_{0}}}} \\ & ={{m}_{2}}\left( \ddot{x}\overrightarrow{{{x}_{1}}}+\dot{x}\dot{\psi }\overrightarrow{{{y}_{1}}}+\left( \dot{x}\dot{\psi }+\left( d+x \right)\ddot{\psi } \right)\overrightarrow{{{y}_{1}}}-\left( d+x \right){{{\dot{\psi }}}^{2}}\overrightarrow{{{x}_{1}}} \right) \\ & ={{m}_{2}}\left( \ddot{x}-\left( d+x \right){{{\dot{\psi }}}^{2}} \right)\overrightarrow{{{x}_{1}}}+{{m}_{2}}\left( 2\dot{x}\dot{\psi }+\left( d+x \right)\ddot{\psi } \right)\overrightarrow{{{y}_{1}}} \end{align}\)

Le théorème de la résultante dynamique appliqué à la roue (2) en projection sur l'axe \(\overrightarrow{{{x}_{1}}}\) donne :

\({{F}_{R}}+{{X}_{02}}={{m}_{2}}\left( \ddot{x}-\left( d+x \right){{{\dot{\psi }}}^{2}} \right) \quad (6)\)

Le moment dynamique de la roue (2) par rapport au sol (0) en \({{\text{O}}_{\text{2}}}\) (son centre d’inertie) est :

\(\begin{align}   & \overrightarrow{\delta ({{\text{O}}_{\text{2}}},2/0)}=\frac{d}{dt}{{\left( \overrightarrow{\sigma ({{\text{O}}_{\text{2}}},2/0)} \right)}_{{{R}_{0}}}} \\  & =\frac{d}{dt}{{\left( \overline{\overline{{{I}_{{{\text{O}}_{\text{2}}},2}}}}.\overrightarrow{{{\Omega }_{2/0}}} \right)}_{{{R}_{0}}}} \\  & =\frac{d}{dt}{{\left( {{\left[ \begin{matrix}    {{A}_{2}} & 0 & 0  \\    0 & {{B}_{2}} & 0  \\    0 & 0 & {{B}_{2}}  \\ \end{matrix} \right]}_{{{R}_{1}}}}{{\left( \begin{matrix}    {\dot{\phi }}  \\    0  \\    {\dot{\psi }}  \\ \end{matrix} \right)}_{{{R}_{1}}}} \right)}_{{{R}_{0}}}} \\ & =\frac{d}{dt}{{\left( {{A}_{2}}\dot{\phi }\overrightarrow{{{x}_{1}}}+{{B}_{2}}\dot{\psi }\overrightarrow{{{z}_{1,0}}} \right)}_{{{R}_{0}}}} \\  & ={{A}_{2}}\ddot{\phi }\overrightarrow{{{x}_{1}}}+{{A}_{2}}\dot{\phi }\dot{\psi }\overrightarrow{{{y}_{1}}}+{{B}_{2}}\ddot{\psi }\overrightarrow{{{z}_{1,0}}} \end{align}\)

Le théorème du moment dynamique appliqué à la roue (2) en \({{\text{O}}_{\text{2}}}\) en projection sur l'axe \(\overrightarrow{{{x}_{1}}}\) :

\(R{{Y}_{02}}={{A}_{2}}\ddot{\phi } \quad (7)\)

Appliqué à \(S=\left\{ 1+2+3 \right\}\) sur \(\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}\)

Les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur cet ensemble sont :

• l’action de la pesanteur sur 1, 2 et 3 : \(\overrightarrow{{{F}_{pes\to S}}}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}=-\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}} \right)g\) et \(\overrightarrow{{{M}_{pes\to S}}\left( {{\text{O}}_{\text{1}}} \right)}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}=0\)

• l’action de liaison de 0 sur 1 : \(\overrightarrow{{{F}_{0\to 1}}}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}=0\) et \(\overrightarrow{{{M}_{0\to 1}}\left( {{\text{O}}_{\text{1}}} \right)}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}=0\)

• l’action de liaison de 0 sur 2 : \(\overrightarrow{{{F}_{0\to 2}}}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}={{Z}_{02}}\) et \(\overrightarrow{{{M}_{0\to 2}}\left( {{\text{O}}_{\text{1}}} \right)}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}=\left( d+x \right){{Y}_{02}}\)

• le couple du moteur : \(\overrightarrow{{{F}_{moteur\to 1}}}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}=0\) et \(\overrightarrow{{{M}_{moteur\to 1}}\left( {{\text{O}}_{\text{1}}} \right)}.\overrightarrow{{{z}_{0}}}={{C}_{m}}\)

La résultante dynamique de l’ensemble \(S\) est égale à la somme des résultantes dynamiques des éléments qui le composent :

\(\overrightarrow{D_{S/0}^{{}}}=\overrightarrow{D_{1/0}^{{}}}+\overrightarrow{D_{2/0}^{{}}}+\overrightarrow{D_{3/0}^{{}}}={{m}_{1}}\overrightarrow{\Gamma \left( {{\text{O}}_{1}},1/0 \right)}+{{m}_{2}}\overrightarrow{\Gamma \left( {{\text{O}}_{\text{2}}},2/0 \right)}+{{m}_{3}}\overrightarrow{\Gamma \left( {{\text{G}}_{\text{3}}},3/0 \right)}\)

avec

\(\overrightarrow{\Gamma \left( {{\text{O}}_{1}},1/0 \right)}=\overrightarrow{0}\) car O₁ fixe dans le mouvement de 1/0 (il appartient à l’axe de rotation et z constant)

\(\overrightarrow{\Gamma \left( {{\text{O}}_{\text{2}}},2/0 \right)}=\left( \ddot{x}-\left( d+x \right){{{\dot{\psi }}}^{2}} \right)\overrightarrow{{{x}_{1}}}+\left( 2\dot{x}\dot{\psi }+\left( d+x \right)\ddot{\psi } \right)\overrightarrow{{{y}_{1}}}\) (calculée précédemment)

\(\overrightarrow{\Gamma ({{\text{G}}_{\text{3}}},3/0)}=-d{{\dot{\psi }}^{2}}\overrightarrow{{{x}_{1}}}+d\ddot{\psi }\overrightarrow{{{y}_{1}}}-l{{\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)}^{2}}\overrightarrow{{{x}_{3}}}+l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right)\overrightarrow{{{y}_{3}}}\) (donnée dans l’énoncé)

Le théorème de la résultante dynamique appliqué à \(S\) en projection sur l'axe \(\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}\) permet d’écrire :

            \({{Z}_{02}}-\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}} \right)g=0 \quad (8)\)

Le moment dynamique de l’ensemble \(S\) au point \({{\text{O}}_{\text{1}}}\) est égal à la somme des moments dynamiques, au même point, des éléments qui le composent :

\(\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{1}}},S/0 \right)}=\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{1}}},1/0 \right)}+\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{1}}},2/0 \right)}+\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{1}}},3/0 \right)}\)

Avec \(\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{1}}},1/0 \right)}=\frac{d}{dt}{{\left( \overline{\overline{{{I}_{{{\text{O}}_{\text{1}}},1}}}}.\overrightarrow{{{\Omega }_{1/0}}} \right)}_{{{R}_{0}}}}={{C}_{1}}\ddot{\psi }\overrightarrow{{{z}_{0}}}\)

On connaît le moment dynamique de la roue (2) en son centre d’inertie \({{\text{O}}_{\text{2}}}\)

\(\overrightarrow{\delta ({{\text{O}}_{\text{2}}},2/0)}={{A}_{2}}\ddot{\phi }\overrightarrow{{{x}_{1}}}+\left( {{A}_{2}}-{{B}_{2}} \right)\dot{\psi }\dot{\phi }\overrightarrow{{{y}_{1}}}+{{B}_{2}}\ddot{\psi }\overrightarrow{{{z}_{1}}}\)

On le transporte donc en \({{\text{O}}_{\text{1}}}\)

\(\begin{align}   & \overrightarrow{\delta ({{\text{O}}_{\text{1}}},2/0)}=\overrightarrow{\delta ({{\text{O}}_{\text{2}}},2/0)}+\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{1}}}{{\text{O}}_{\text{2}}}}\wedge {{m}_{2}}\overrightarrow{\Gamma ({{\text{O}}_{\text{2}}},2/0)} \\  & ={{\left( \begin{matrix}    {{A}_{2}}\ddot{\phi }  \\    {{A}_{2}}\dot{\psi }\dot{\phi }  \\    {{B}_{2}}\ddot{\psi }  \\ \end{matrix} \right)}_{{{R}_{1}}}}+{{\left( \begin{matrix}    d+x  \\    0  \\    0  \\ \end{matrix} \right)}_{{{R}_{1}}}}\wedge {{m}_{2}}{{\left( \begin{matrix}    \ddot{x}-\left( d+x \right){{{\dot{\psi }}}^{2}}  \\   2\dot{x}\dot{\psi }+\left( d+x \right)\ddot{\psi }  \\   0  \\ \end{matrix} \right)}_{{{R}_{1}}}} \\ & ={{\left( \begin{matrix}    {{A}_{2}}\ddot{\phi }  \\    {{A}_{2}}\dot{\psi }\dot{\phi }  \\    {{B}_{2}}\ddot{\psi }+2{{m}_{2}}\left( d+x \right)\dot{x}\dot{\psi }+{{m}_{2}}{{\left( d+x \right)}^{2}}\ddot{\psi }  \\ \end{matrix} \right)}_{{{R}_{1}}}} \end{align}\)

On a déjà calculé :

\(\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{3}}},3/0 \right)}={{m}_{3}}l\left[ d\left( {{{\dot{\psi }}}^{2}}sin\theta +\ddot{\psi }cos\theta  \right)+l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right) \right]\overrightarrow{{{z}_{3}}}\)

\(\begin{align}   & \overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{1}}},3/0 \right)}=\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{3}}},3/0 \right)}+\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{1}}}{{\text{O}}_{\text{3}}}}\wedge {{m}_{3}}\overrightarrow{\Gamma ({{\text{G}}_{\text{3}}},3/0)} \\  & ={{m}_{3}}l\left[ d\left( {{{\dot{\psi }}}^{2}}sin\theta +\ddot{\psi }cos\theta  \right)+l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right) \right]\overrightarrow{{{z}_{1,3}}} \\ & +{{\left( \begin{matrix}    d  \\   0  \\   h  \\\end{matrix} \right)}_{{{R}_{1}}}}\wedge {{m}_{3}}{{\left( \begin{array}{*{35}{l}}    -d{{{\dot{\psi }}}^{2}}-l{{\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)}^{2}}\cos \theta -l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right)\sin \theta   \\   d\ddot{\psi }-l{{\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)}^{2}}\sin \theta +l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right)\cos \theta   \\   0  \\\end{array} \right)}_{{{R}_{1}}}} \end{align}\)

\(\begin{align}   & \overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{\text{1}}},3/0 \right)}.\overrightarrow{{{z}_{\text{0,1,3}}}}={{m}_{3}}l\left[ d\left( {{{\dot{\psi }}}^{2}}sin\theta +\ddot{\psi }cos\theta  \right)+l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right) \right]+{{m}_{3}}d\left( d\ddot{\psi }-l{{\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)}^{2}}\sin \theta +l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right)\cos \theta  \right) \\ & ={{m}_{3}}\left( \left( {{d}^{2}}+{{l}^{2}}+2dlcos\theta  \right)\ddot{\psi }+\left( {{l}^{2}}+dl\cos \theta  \right)\ddot{\theta }-dl{{\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)}^{2}}\sin \theta +dl{{{\dot{\psi }}}^{2}}sin\theta  \right) \end{align}\)

Le théorème du moment dynamique appliqué à \(S\) au point \({{\text{O}}_{\text{1}}}\) en projection sur l'axe \(\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}\) s’écrit :

\(\begin{align}   & \left( d+x \right){{Y}_{02}}+{{C}_{m}}=\left[ {{C}_{1}}+{{B}_{2}}+{{m}_{2}}{{\left( d+x \right)}^{2}}+{{m}_{3}}\left( {{d}^{2}}+2dlcos\theta +{{l}^{2}} \right) \right]\ddot{\psi } \\ & +2{{m}_{2}}\left( d+x \right)\dot{x}\dot{\psi }-{{m}_{3}}dlsin\theta {{{\dot{\theta }}}^{2}}-2{{m}_{3}}dlsin\theta \dot{\theta }\dot{\psi }+{{m}_{3}}l\left( dcos\theta +l \right)\ddot{\theta } \end{align} \quad (9)\)

\((1) \quad \Rightarrow \quad z=R=cte\)

\((2) \quad \Rightarrow \quad \left( d+x \right)\dot{\psi }+R\dot{\phi }=0\)

\((3) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{{{F}_{res/2}}}={{F}_{res}}\overrightarrow{{{x}_{1}}}=-kx\overrightarrow{{{x}_{1}}}\)

\((4) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{{{F}_{0/2}}}.\overrightarrow{{{x}_{1}}}={{X}_{02}}=-Darctan\left( \frac{{\dot{x}}}{\left( d+x \right)\dot{\psi }} \right)\)

\((5) \quad \Rightarrow \quad C_{m}^{'}={{m}_{3}}l\left[ d\left( {{{\dot{\psi }}}^{2}}sin\theta +\ddot{\psi }cos\theta  \right)+l\left( \ddot{\theta }+\ddot{\psi } \right) \right]\)

\((6)+(3)+(4) \quad \Rightarrow \quad kx+Darctan\left( \frac{{\dot{x}}}{\left( d+x \right)\dot{\psi }} \right)+{{m}_{2}}\left[ \ddot{x}-\left( d+x \right){{{\dot{\psi }}}^{2}} \right]=0 \quad (10)\)

\((7) \quad \Rightarrow \quad {{Y}_{02}}=\frac{{{A}_{2}}}{R}\ddot{\phi }\)

\((8) \quad \Rightarrow \quad {{Z}_{02}}=\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+{{m}_{3}} \right)g\)

\((9)+(7) \quad \Rightarrow \quad \begin{array}{*{35}{l}}    {{C}_{m}}=\left[ \left( {{C}_{1}}+{{B}_{2}} \right)+{{m}_{2}}{{\left( d+x \right)}^{2}}+{{m}_{3}}\left( {{d}^{2}}+2dlcos\theta +{{l}^{2}} \right) \right]\ddot{\psi }-\left( d+x \right)\frac{{{A}_{2}}}{R}\ddot{\phi }  \\    +{{m}_{3}}l\left( dcos\theta +l \right)\ddot{\theta }+2{{m}_{2}}\left( d+x \right)\dot{x}\dot{\psi }-{{m}_{3}}dlsin\theta {{{\dot{\theta }}}^{2}}-2{{m}_{3}}dlsin\theta \dot{\theta }\dot{\psi }  \\\end{array} \quad (11)\)

La résolution des équations différentielles \((2), (5), (10)\) et \((11)\) permet de déterminer les paramètres cinématiques \(x, \psi , \phi\) et \(\theta\) (le paramètre \(z\) étant déjà déterminé grâce à l'équation \((1)\)).

Dans le cas de l'état stationnaire définit dans l'énoncé :

\(x=cte={{x}^{*}}\) ; \(\dot{\psi }=cte=\omega\) ; \(\dot{\phi }=cte=\Omega\) ; \(\dot{\theta }=cte={{\dot{\theta }}^{*}}\)

Le système d'équations précédent devient (seules les équations qui diffèrent ont été écrites) :

\((2) \quad \Rightarrow \quad \left( d+{{x}^{*}} \right)\omega +R\Omega =0 \quad (12)\)

\((3) \quad \Rightarrow \quad {{F}_{R}}=-k{{x}^{*}} \quad (13)\)

\((4) \quad \Rightarrow \quad {{X}_{02}}=0 \quad (14)\)

\((5) \quad \Rightarrow \quad C_{m}^{'}={{m}_{3}}ld{{\omega }^{2}}sin\theta \quad (15)\)

\((10) \quad \Rightarrow \quad \left( k-{{m}_{2}}{{\omega }^{2}} \right){{x}^{*}}={{m}_{2}}{{\omega }^{2}}d$$\Rightarrow \quad {{x}^{*}}=\frac{{{m}_{2}}{{\omega }^{2}}d}{k-{{m}_{2}}{{\omega }^{2}}} \quad (16)\)

\((7) \quad \Rightarrow \quad {{Y}_{02}}=0 \quad (17)\)

\((11) \quad \Rightarrow \quad {{C}_{m}}=-{{m}_{3}}dlsin\theta {{\dot{\theta }}^{*}}\left( {{{\dot{\theta }}}^{*}}+2\omega  \right) \quad (18)\)

Les équations \((15), (16)\) et \((18)\) permettent de déterminer les couples moteurs et \({{x}^{*}}.\)

L'équation \((10)\) caractérisant les mouvements axiaux de la roue peut être linéarisée dans le cadre de l'hypothèse de petits mouvements autour de l’état stationnaire.

\(x={{x}^{*}}+\bar{x}\)

Le développement limité de la fonction arctan en 0 permet d’écrire :

\(arctan\left( \frac{{\dot{\bar{x}}}}{\left( d+{{x}^{*}}+\bar{x} \right)\omega } \right)\approx \frac{{\dot{\bar{x}}}}{\left( d+{{x}^{*}} \right)\omega }\)

L'équation \((10)\) devient : \({{m}_{2}}\ddot{\bar{x}}+\frac{D}{\left( d+{{x}^{*}} \right)\omega }\dot{\bar{x}}+\left( k-{{m}_{2}}{{\omega }^{2}} \right)\bar{x}={{m}_{2}}\left( d+{{x}^{*}} \right){{\omega }^{2}}-k{{x}^{*}} \quad (19)\)

En introduisant l'équation \((16)\) dans l'équation \((19)\), on obtient :

\(\ddot{\bar{x}}+\frac{\left( k-{{m}_{2}}{{\omega }^{2}} \right)D}{{{m}_{2}}kd\omega }\dot{\bar{x}}+\left( \frac{k}{{{m}_{2}}}-{{\omega }^{2}} \right)\bar{x}=0 \quad (20)\)

Le système est stable si tous les coefficients sont de même signe, soit : \(\omega <\sqrt{\frac{k}{{{m}_{2}}}}\quad (21)\)

Pour déterminer les actions de la liaison 1-3, on isole l’ensemble des solides situés « après » la liaison 1-3 : donc le solide S₃.

Action de pesanteur : \({{\left\{ {{\Im }_{pes/3}} \right\}}_{{{O}_{3}}}}=\left\{ \begin{matrix}    -{{m}_{3}}g\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}  \\    {{m}_{3}}gl\overrightarrow{{{y}_{3}}}  \\\end{matrix} \right\}\)

Liaison 1/3 : \({{\left\{ {{\Im }_{1/3}} \right\}}_{{{O}_{3}}}}=\left\{ \begin{matrix}   {{X}_{13}}\overrightarrow{{{x}_{3}}}+{{Y}_{13}}\overrightarrow{{{y}_{3}}}+{{Z}_{13}}\overrightarrow{{{z}_{1,3}}}  \\    {{L}_{13}}\overrightarrow{{{x}_{3}}}+{{M}_{13}}\overrightarrow{{{y}_{3}}}  \\ \end{matrix} \right\}\)

Couple moteur : \(\left\{ {{\Im }_{m'/3}} \right\}=\left\{ \begin{matrix}    \overrightarrow{0}  \\   {{C}_{m'}}\overrightarrow{{{z}_{0,1,3}}}  \\\end{matrix} \right\}\)

\(\overrightarrow{D_{3/0}^{{}}}=-{{m}_{3}}\left[ d{{\omega }^{2}}\cos \theta +l{{\left( {{{\dot{\theta }}}^{*}}+\omega  \right)}^{2}} \right]\overrightarrow{{{x}_{3}}}+{{m}_{3}}d{{\omega }^{2}}\sin \theta \overrightarrow{{{y}_{3}}}\)

\(\overrightarrow{\delta \left( {{\text{O}}_{3}},3/0 \right)}={{m}_{3}}ld{{\omega }^{2}}sin\theta \overrightarrow{{{z}_{1,3}}}\)

En projection dans \({{R}_{3}}\).

La puissance développée par les actions mécaniques intérieures au système est :

\({{P}_{\operatorname{int}}}=P_{li12}^{{}}+P_{li13}^{{}}+P_{ressort}^{{}}+P_{m'}^{{}}\)

Les liaisons intérieures (1/2 et 1/3) sont parfaites : elles ne développent donc pas de puissance.

\(\Rightarrow \quad P_{li01}^{{}}=0,\ P_{li12}^{{}}=0\ et\ P_{li13}^{{}}=0\)

La puissance développée par le ressort est : \(P_{ressort}^{{}}=-k\left( l-{{l}_{0}} \right)\frac{dl}{dt}=-kx\dot{x}\)

La puissance développée par le moteur entre 1 et 3 est : \(P_{m'}^{0}=\overrightarrow{{{M}_{m'\to 1}}\left( {{\text{O}}_{\text{3}}} \right)}.\overrightarrow{\Omega _{3/1}^{{}}}={{C}_{m'}}\dot{\theta }\)

La puissance galiléenne développée par les actions mécaniques extérieures s’exerçant sur le système est :

\({{P}_{ext/0}}=P_{0\to 1/0}^{{}}+P_{0\to 2/0}^{{}}+P_{m/0}^{{}}\)

\(P_{0\to 1/0}^{{}}=0\) car la liaison est parfaite et le déplacement suivant \(z\) est nul (hypothèse de contact permanent).

De même l’action de pesanteur ne travaille pas (altitude constante).

\(P_{0\to 2/0}^{{}}=\overrightarrow{{{F}_{0\to 2}}}.\overrightarrow{V\left( \text{I},2/0 \right)}={{X}_{02}}\dot{x}+{{Y}_{02}}\left[ \left( d+x \right)\dot{\psi }+R\dot{\phi } \right]={{X}_{02}}\dot{x}\) (en utilisant l'équation de liaison)

\(P_{m/0}^{{}}=\overrightarrow{{{M}_{m\to 1}}\left( {{\text{O}}_{1}} \right)}.\overrightarrow{\Omega _{1/0}^{{}}}={{C}_{m}}\dot{\psi }\)

La puissance développée par le système est donc :

\({{P}_{\operatorname{int}}}+{{P}_{ext/0}}=\left( {{X}_{02}}-kx \right)\dot{x}+{{C}_{m}}\dot{\psi }+{{C}_{m'}}\dot{\theta }\)

L'énergie cinétique du système est la somme des énergies cinétiques des solides qui le composent.

\({{T}_{S/0}}=T_{1/0}^{{}}+T_{2/0}^{{}}+T_{3/0}^{{}}$ avec $T_{i/0}^{{}}=\frac{1}{2}{{m}_{i}}\overrightarrow{V\left( {{\text{G}}_{i}},i/0 \right)}+\frac{1}{2}{{\overrightarrow{\Omega _{i/0}^{{}}}}^{t}}.\overline{\overline{{{I}_{{{G}_{i}},i}}}}.\overrightarrow{\Omega _{i/0}^{{}}}\)

avec \(T_{1/0}^{{}}=\frac{1}{2}{{C}_{1}}{{\dot{\psi }}^{2}}\)

\(T_{2/0}^{{}}=\frac{1}{2}{{m}_{2}}\left[ {{{\dot{x}}}^{2}}+{{\left( d+x \right)}^{2}}{{{\dot{\psi }}}^{2}} \right]+\frac{1}{2}\left( {{A}_{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+{{B}_{2}}{{{\dot{\psi }}}^{2}} \right)\)

\(T_{3/0}^{{}}=\frac{1}{2}{{m}_{3}}\left[ {{d}^{2}}{{{\dot{\psi }}}^{2}}+2dl\dot{\psi }\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)cos\theta +{{l}^{2}}{{\left( \dot{\theta }+\dot{\psi } \right)}^{2}} \right]\)

L'énergie cinétique du système est donc :

\(\begin{align}   & T=\frac{1}{2}\left[ {{C}_{1}}+{{B}_{2}}+{{m}_{2}}{{\left( d+x \right)}^{2}}+{{m}_{3}}\left( {{d}^{2}}+{{l}^{2}}+2dlcos\theta  \right) \right]{{{\dot{\psi }}}^{2}} \\ & \quad +\frac{1}{2}{{A}_{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}}+\frac{1}{2}{{m}_{3}}{{l}^{2}}{{{\dot{\theta }}}^{2}}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{{\dot{x}}}^{2}}+{{m}_{3}}l\left( l+dcos\theta  \right)\dot{\theta }\dot{\psi } \end{align}\)

\(\overrightarrow{V\left( {{\text{G}}_{3}}/0 \right)}={{\left. \frac{d\overrightarrow{\text{O}{{\text{G}}_{\text{3}}}}}{dt} \right|}_{0}}={{\left. \frac{d\overrightarrow{\text{O}{{\text{O}}_{3}}}+\overrightarrow{{{\text{O}}_{\text{3}}}{{\text{G}}_{\text{3}}}}}{dt} \right|}_{0}}={{\left. \frac{d}{dt}\left( d\overrightarrow{{{x}_{1}}}+h\overrightarrow{z} \right) \right|}_{0}}+{{\left. \frac{d}{dt}l\overrightarrow{{{x}_{3}}} \right|}_{0}}=d\dot{\psi }\overrightarrow{{{y}_{1}}}+l\left( \dot{\psi }+\dot{\theta } \right)\overrightarrow{{{y}_{3}}}\)

La dérivée de l'énergie cinétique par rapport au temps est :

\(\begin{align}   & \frac{d{{T}_{S/0}}}{dt}=\left[ {{C}_{1}}+{{B}_{2}}+{{m}_{2}}{{\left( d+x \right)}^{2}}+{{m}_{3}}\left( {{d}^{2}}+{{l}^{2}}+2dlcos\theta  \right) \right]\dot{\psi }\ddot{\psi }+\left( {{m}_{2}}x\dot{x}-{{m}_{3}}dlsin\theta \dot{\theta } \right){{{\dot{\psi }}}^{2}} \\ & +{{A}_{2}}\dot{\phi }\ddot{\phi }+{{m}_{3}}{{l}^{2}}\dot{\theta }\ddot{\theta }+{{m}_{2}}\dot{x}\ddot{x}-{{m}_{3}}ldsin\theta {{{\dot{\theta }}}^{2}}\dot{\psi }+{{m}_{3}}l\left( l+dcos\theta  \right)\left( \ddot{\theta }\dot{\psi }+\dot{\theta }\ddot{\psi } \right) \end{align}\)

A l’état stationnaire :

\(\frac{d{{T}_{S/0}}}{dt}=-{{m}_{3}}dlsin\theta \left( {{{\dot{\theta }}}^{*}}{{\omega }^{2}}+{{{\dot{\theta }}}^{*2}}\omega  \right)\)

Le théorème de l'énergie cinétique à l'état stationnaire donne, en utilisant l'équation \({{X}_{02}}=0\) :

\(-{{m}_{3}}dlsin\theta \left( {{{\dot{\theta }}}^{*}}{{\omega }^{2}}+{{{\dot{\theta }}}^{*2}}\omega  \right)={{C}_{m}}\omega +{{C}_{m'}}{{\dot{\theta }}^{*}} \quad (32)\)