Energie et puissance des systèmes mécaniques

Pour calculer la puissance développée par une action mécanique, on fait le comoment du torseur de l'action par le torseur cinématique du mouvement du solide, sur lequel l'action s'applique, par rapport au référentiel galiléen :

\({P_{ext \to S/g}} = \overrightarrow {{R_{ext \to S}}} .\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)} + \overrightarrow {{M_{ext \to S}}({\rm{A}})} .\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)

Les 2 torseurs sont exprimés au même point ; en général celui où l'on connait le torseur d'action.

Pour une action intérieure, c'est à dire entre de solides du système considéré, on fait le comoment du torseur de l'action du premier solide sur le second par le torseur cinématique du mouvement du second solide par rapport au premier :

\({P_{i \leftrightarrow j}} = \overrightarrow {{R_{i \to j}}} .\overrightarrow {V({\rm{A,}}j/i)} + \overrightarrow {{M_{i \to j}}({\rm{A}})} .\overrightarrow {{\Omega _{j/i}}}\)

Remarque : si une liaison est parfaite alors elle ne développe pas de puissance.

Pour une action dérivant d’une fonction de force \(U\) ou d'un potentiel \(V=-U\), on peut calculer la puissance dissipée en dérivant la fonction par rapport au temps :

\({P_{F \to S/g}} = \frac{{dU}}{{dt}}\)

La fonction de force de pesanteur est \({U_{pes}} = - mgz + cte\) où \(z\) est altitude du centre de masse (position suivant la verticale ascendante).

La fonction de force d'un ressort linéaire est \({U_r} = - \frac{1}{2}k{\left( {l - {l_0}} \right)^2} + cte\) où \(k\) est la raideur, \(l\) la longueur du ressort (fonction des paramètres cinématiques) et \(l_0\) la longueur à vide du ressort.

Pour calculer l'énergie cinétique d'un système mécanique, on somme les énergies cinétiques de tous les solides composant le système. Ces énergies cinétiques sont généralement calculés à partir des quantités exprimées au centre de masse car plus simples :

\({T_{S/g}}=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{V({\rm{G}}/g)}^2}+\frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}}\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)

S'il existe un point fixe dans le mouvement du solide par rapport au référentiel galiléen, on peut aussi utiliser les quantités exprimées en ce point :

\({T_{S/g}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} \overline{\overline {{I_{{\rm{A}},S}}}} \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)

Pour appliquer le théorème de l'énergie cinétique, on calcule d'une part l'énergie cinétique du système considéré puis on la dérive par rapport au temps et d'autre part la somme des puissances développées par les actions mécaniques s'exerçant sur le système et à l'intérieur du système. Le théorème dit que ces 2 quantités sont égales, on obtient ainsi une relation entre le mouvement (paramètres cinématiques) et les actions mécaniques.

\(\frac{{d{T_{S/g}}}}{{dt}} = {P_{ext \to S/g}} + {P_{{\mathop{\rm int}} }}\)