Statique des systèmes mécaniques

Un solide S est en équilibre statique (sans mouvement) lorsque la somme des actions mécaniques (extérieures) s’exerçant sur lui, exprimées en même point, est nulle.

Autrement dit, quand le torseur équivalent à l’ensemble des actions mécaniques est nul :

\({\left\{ {{T_{{\rm{ext}} \to S}}} \right\}_{\rm{P}}} = \sum\limits_{i = 0}^n {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}} }\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} }\end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{i = 0}^n {\overrightarrow {{R_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}} } }\\{\sum\limits_{i = 0}^n {\overrightarrow {{M_{{\rm{i}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} } }\end{array}} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} }\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} }\end{array}} \right\}}  = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow 0 }\\{\overrightarrow 0 }\end{array}} \right\}\)

Il en résulte un système de 6 équations scalaires en projetant sur les axes du repère orthonormé direct :

\({\left\{ {{T_{{\rm{ext}} \to S}}} \right\}_{\rm{P}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Rx}&0\\{Ry}&0\\0&{Mz}\end{array}} \right\} = \left\{ 0 \right\} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} .\overrightarrow x = 0}\\{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} .\overrightarrow y = 0}\\{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} .\overrightarrow z = 0}\end{array}} \right.}\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} .\overrightarrow x = 0}\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} .\overrightarrow y = 0}\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} .\overrightarrow z = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Si l’ensemble des forces (glisseurs) est contenu dans un plan, par exemple \(({\rm{P}},\overrightarrow x ,\overrightarrow y )\), on ne dispose alors plus que de 3 équations (2 pour la résultante dans le plan et 1 pour le moment autour de l’axe perpendiculaire au plan) :

\({\left\{ {{T_{{\rm{ext}} \to S}}} \right\}_{\rm{P}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Rx}&0\\{Ry}&0\\0&{Mz}\end{array}} \right\} = \left\{ 0 \right\} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} .\overrightarrow x = 0}\\{\overrightarrow {{R_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}} .\overrightarrow y = 0}\\{0 = 0}\end{array}} \right.}\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = 0}\\{0 = 0}\\{\overrightarrow {{M_{{\rm{ext}} \to {\rm{S}}}}({\rm{P}})} .\overrightarrow z = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)