Energie cinétique d’un solide

L’énergie cinétique d’un solide \(S\) est la somme des énergies cinétiques de l’ensemble des points matériels \({\rm{P}}\) qui le constitue : \({T_{S/g}} = \frac{1}{2}\int_S {{{\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} }^2}dm}\)

 

En exprimant la vitesse de ces points en fonction de celle de son centre de masse et d’un autre point :

\(\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)}  = \overrightarrow {V({\rm{G}}/g)}  + \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{GP}}}\)

Et \(\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)}  = \overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{AP}}}\)

On peut se rendre compte que l’énergie cinétique est la moitié du comoment du torseur cinétique avec le torseur cinématique

\(\begin{array}{c} {T_{S/g}} = \frac{1}{2}\int_S {{{\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} }^2}dm} \\  = \frac{1}{2}\int_S {\left( {\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)}  + \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{GP}}} } \right).\left( {\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{AP}}} } \right)dm} \\ = \frac{1}{2}m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} .\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \frac{1}{2}\int_S {\left( {\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{GP}}} } \right).\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)} dm}  + \frac{1}{2}\int_S {\overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} .\left( {\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}  \wedge \overrightarrow {{\rm{AP}}} } \right)dm} \\  = \frac{1}{2}m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} \overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  \wedge \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} } \right)\int_S {\overrightarrow {{\rm{GP}}} dm}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} \int_S {\left( {\overrightarrow {{\rm{AP}}}  \wedge \overrightarrow {V({\rm{P}}/g)} } \right)dm} \\  = \frac{1}{2}m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} \overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  \wedge \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} } \right)\quad \overrightarrow 0 \quad \quad  + \frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} \overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)} \\ = \frac{1}{2}m\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} \overrightarrow {V({\rm{A}},S/g)}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {\sigma ({\rm{A}},S/g)} \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} \end{array}\)

\({T_{S/g}} = \frac{1}{2}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {p(S/g)} }\\ {\overrightarrow {\sigma (A,S/g)} } \end{array}} \right\}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} }\\ {\overrightarrow {V(A,S/g)} } \end{array}} \right\}\)

Remarque

L’énergie cinétique est plus simple à calculer dans les 2 cas suivants :

  • Si le point \({\rm{A}}\) est fixe dans le mouvement de \(S/{R_g}\) alors \({T_{S/g}} = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} \overline{\overline {{I_{{\rm{A}},S}}}} \overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)

 

  • Si le point \({\rm{A}}\) est le centre d’inertie \({\rm{G}}\) alors \({T_{S/g}} = \frac{1}{2}m{\overrightarrow {V({\rm{G}}/g)} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}} \overline{\overline {{I_{{\rm{G}},S}}}} \,\overrightarrow {{\Omega _{S/g}}}\)